Übungen zu Mathematik 2

Heilbronn, den 1.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 2

Blatt 6

Zu bearbeiten bis 8.11.2021

Name: Matrikelnr.:

Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.

• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.

• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.

Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).

Aufgabe 1. Berechnen Sie Real- und Imaginärteil von 1

1 +j ¹⁰

.

Aufgabe 2. Berechnen Sie für jede ganze Zahlk∈Z Z π

0

e^jktdt.

Hinweis: Um den Terme^jkπ zu vereinfachen, müssen Sie eine Fallunter- scheidung machen ob k gerade oder k ungerade ist. Bevor Sie durch k dividieren, müssen Sie eine weitere Fallunterscheidung machen, obk= 0 ist.

Aufgabe 3. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL xy⁰+y = xsin(x²)

fürx >0.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y⁰−e^−x+y−xy⁰=xy.

Aufgabe 5. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y⁰(x) =xy(x).

Aufgabe 6. Definieren Sie eine Funktion f ∈R→R, die an der Stelle ˆx= 2 stetig ist, dort aber nicht differenzierbar ist. Zeichnen Sie eine Skizze dieser Funktion in der Nähe von ˆx.

Aufgabe 7. Sei

y⁰+g(x)y = r(x)

eine lineare DGL. Seieny1, y2zwei partikuläre Lösungen dieser DGL. Zei- gen Sie, dass dann

y1−y2

eine Lösung der homogenen DGL

y⁰+g(x)y = 0 ist.

Aufgabe 8. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y⁰+ 2xy = xe^1−x2. Aufgabe 9. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL

x²y⁰+y= 1.

Aufgabe 10. Gegeben sei die lineare, homogene DGL mit konstanten Koeffi- zienten

ay⁰⁰+by⁰+cy = 0.

Die Menge aller Lösungsfunktionen bei solchen DGL ist abgeschlossen unter Addition und unter skalarer Multiplikation und bildet daher einen Vektorraum.

• Sind y1, y2 Lösungsfunktionen, dann ist auch y1+y2 eine Lösungs- funktion.

• Ist y eine Lösungsfunktion und u ∈ R, dann ist auch uy eine Lö- sungsfunktion.

Die Abgeschlossenheit unter Addition zeigt man wie folgt.

Seieny₁, y₂Lösungsfunktionen, d.h.

ay⁰⁰₁+by₁⁰ +cy₁ = 0 ay⁰⁰₂+by₂⁰ +cy2 = 0.

Zu zeigen ist, dassy1+y2 eine Lösungsfunktion ist. Einsetzen ergibt a(y₁+y₂)⁰⁰+b(y₁+y₂)⁰+c(y₁+y₂)

= a(y₁⁰⁰+y₂⁰⁰) +b(y₁⁰ +y₂⁰) +c(y1+y2)

= ay⁰⁰₁+ay₂⁰⁰+by₁⁰ +by₂⁰ +cy₁+cy₂

= ay⁰⁰₁+by⁰₁+cy1

| {z }

=0

+ ay₂⁰⁰+by⁰₂+cy2

| {z }

=0

= 0.

Funktioniert hat das nur, weil die DGL linear ist, d.h. auf der linken Seite eine Linearkombination von y, y⁰ und y⁰⁰ steht. Wäre z.B. y² oder yy⁰ aufgetreten, wäre die Lösungsmenge kein Vektorraum.

• Zeigen Sie auf gleiche Weise die Abgeschlossenheit unter skalarer Multiplikation.

• Angenommen die Koffizienten a, b, c wären nicht konstant sondern Funktionen vonx, d.h.

a(x)y⁰⁰+b(x)y⁰+c(x)y = 0.

Ist die Lösungsmenge dieser DGL trotzdem abgeschlossen unter Ad- dition und unter skalarer Multiplikation?

• Ist die Lösungsmenge der inhomogenen DGL ay⁰⁰+by⁰+cy = x

abgeschlossen unter Addition und unter skalarer Multiplikation?

Aufgabe 11. Eine lineare, homogene DGL zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten hat die Form

ay⁰⁰+by⁰+cy = 0.

Solche DGL treten z.B. bei mechanischen oder elektrischen Schwingungen auf.

Der Lösungsansatz ist hier

y(x) = e^λx

wobeiλnoch zu bestimmen ist. Hierzu wird der Ansatz in die DGL ein- gesetzt.

y⁰(x) = λe^λx y⁰⁰(x) = λ²e^λx. Einsetzen liefert die Gleichung

aλ²e^λx+bλe^λx+ce^λx = 0.

Nun kann man auf beiden Seiten durche^λx teilen und erhält aλ²+bλ+c = 0.

Das Polynom auf der linken Seite heißt charakteristisches Polynom. Wie man sieht, sind die Polynomkoeffizienten identisch mit den Koeffizienten der DGL, d.h. man kann das charakteristische Polynom auch sofort hin- schreiben.

Für die Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten gibt es 3 Fälle.

• Zwei reelle Nullstellen λ1 und λ2. Durch Einsetzen in den Ansatz erhält man zwei Lösungen

y1=e^λ1x, y2=e^λ2x.

• Ein konjugiert komplexes Nullstellenpaar λ, λ. In diesem Fall erhält man zwei reelle Lösungen

y₁= re e^λx

, y₂= im e^λx .

• Eine doppelte, reelle Nullstelle λ. Auch in diesem Fall erhält man zwei reelle Lösungen

y1=e^λx, y2=xe^λx.

Man kann diese Lösungen in die DGL einsetzen und sich leicht davon überzeugen, dass das korrekt ist.

Da die Lösungsmenge abgeschlossen ist unter Addition und skalarer Mul- tiplikation sind alle Funktionen

y = C1y1+C2y2, C1, C2∈R

Lösungen. Tatsächlich gibt es keine weiteren Lösungsfunktionen. Die all- gemeine Lösung ist somit ein zweidimensionaler Vektorraum und y1, y2

sind eine Basis.

Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y⁰⁰+ 4y⁰+ 3y = 0 y⁰⁰+ 2y⁰+y = 0 y⁰⁰+ 4y⁰+ 5y = 0.

Aufgabe 12. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL y⁰⁰⁰⁰= 16y.

Aufgabe 13. Gegeben sei folgender Schwingkreis, der aus einem Ohmschen WiderstandR, einer SpuleL und einem KondensatorC besteht:

uR(t)

uL(t) uC(t)

Für die Spannungen an den Bauteilen gilt uR(t) = Ri(t) u_C(t) = q(t)/C uL(t) = Li⁰(t).

wobeiq(t) die Ladung des Kondensators ist. Weiterhin gilti(t) =q⁰(t).

• Stellen Sie eine Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für die Funktionq(t) auf.

• Berechnen Sie die Kreisfrequenz der Schwingung unter der Annahme, dassR= 0.

• Wie groß darf R in Abhängigkeit vonLundC sein, damitq(t) tat- sächlich sin- und cos- und nicht nur exponentiell abklingende Terme enthält? Berechnen Sieq(t) unter dieser Bedingung.

Aufgabe 14. Sei

y⁰⁰+jy = 0.

Berechnen Sie die komplexen Basislösungeny₁, y₂mit den Ansatzy=e^λx und zeigen Sie, dass

y₂ = 1 y₁.

Aufgabe 15. Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der DGL y⁰⁰−4y⁰+ 4y= 0.

Pflichtaufgabe.

• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?

• Was fanden Sie besonders schwierig?

• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?