Heilbronn, den 21.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 1
Blatt 4
Zu bearbeiten bis 28.10.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Welche Aussagen sind wahr? Finden Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel.
• Jede nichtleere Teilmenge vonNhat ein kleinstes Element.
• Jede nichtleere Teilmenge vonNhat ein größtes Element.
• Jede nichtleere endliche Teilmenge von Nhat ein größtes Element.
• Jede nichtleere Teilmenge der Menge der positiven reellen Zahlen hat ein kleinstes Element.
Aufgabe 2. Sei
f(x) = 1
xcos(x2).
Berechnen Sief(x+y).
Aufgabe 3. Sei
A={5,{3}}.
Berechnen Sie
|A10|.
Aufgabe 4. Nennen Sie drei Elemente der Relation
R = {x| es gibt ein y∈Zso dassx= (y,2y)}.
Aufgabe 5. Handelt es sich bei der Menge
≤N×=N
um eine Relation? Nennen Sie drei Elemente dieser Menge.
Aufgabe 6. Seig∈A→Bundf ∈B→C. Die Kompositionf◦g(gesprochen
“f nachg” von f undgist definiert durch
f◦g∈A→C, (f◦g)(a) = f(g(a)).
Sei z.B.
A={1,2}, B={3,4,5}, C={6,7}
und
g= A, B,{(1,3),(2,4)}
, f = B, C,{(3,6),(4,7),(5,6)}
.
A B C
2 5
4 3
7 6 1
g f
Dann ist
(f ◦g)(1) = f(g(1))
= f(3)
= 6 (f ◦g)(2) = f(g(2))
= f(4)
= 7 und folglich
f◦g= A, C,{(1,6),(2,7)}
.
Zeichnen Sie ein Mengendiagramm und berechnen Sie in gleicher Weise f◦gfür
A={1,2,3}, B={4,5}, C={6,7,8}
und
g= A, B,{(1,4),(2,4),(3,5)}
, f = B, C,{(4,6),(5,8)}
.
Aufgabe 7. Wenn f, g durch Funktionsterme gegeben sind, kann man einen Funktionsterm fürf◦gwie folgt berechnen. Sei z.B.
f ∈R+0 →R2 f(x) = ln(x+ 1),sin(√ x) g∈R2→R+0 g(x, y) =x2+y2.
Dann ist f ◦g ∈ R2 → R2. Es handelt sich also um eine zweistellige Funktion von reellen Zahlen.
R2 g f f◦g
R2 R+0
Laut Definition der Komposition gilt
(f◦g)(x, y) = f(g(x, y)).
Nun ersetzt mang(x, y) durch den Funktionsterm x2+y2. f(g(x, y)) = f(x2+y2).
Ausgehend von
f(x) = ln(x+ 1),sin(√ x)
ersetzt man nun auf beiden Seiten das Variablensymbolxdurch den Term x2+y2 und erhält
f(x2+y2) =
ln(x2+y2+ 1),sin(p
x2+y2) .
Damit ist
(f◦g)(x, y) =
ln(x2+y2+ 1),sin(p
x2+y2) .
In diesem Fall ist auch die Funktiong◦f definiert. Berechnen auf gleiche Weise einen Funktionsterm hierfür. Überlegen Sie zunächst, von wo nach wo die Funktion abbildet.
Aufgabe 8. Seienf ∈R→R2 undg∈R2→R3 definiert durch f(x) = (ex, x2+x)
g(x, y) = (y+ 1, xy, xsin(y)).
Berechnen Sie einen Funktionsterm fürg◦f. Aufgabe 9. Sei
f ∈(R\ {0})2→R, f(x, y) = x+y x g∈(R\ {0})→(R\ {0})2, g(x) =
1 x, x
.
Berechnen Sie einen Funktionsterm fürf◦g und vereinfachen Sie diesen so weit wie möglich.
Aufgabe 10. Eine Funktion f ∈ A → B heißt injektiv, wenn es keine zwei verschiedenen Elemente a1, a2 ∈ A gibt, die den selben Funktionswert haben. Dies lässt sich in einer Formel ausdrücken durch
∀a1, a2∈A a16=a2→f(a1)6=f(a2).
Im Mengendiagramm erkennt man eine nicht injektive Funktion daran, dass mindestens zwei Pfeile zusammenlaufen.
A B f
a2
a1
So ist die Funktion
f ∈R→R, f(x) =x2 nicht injektiv, da z.B. 36=−3 aberf(3) =f(−3) = 9.
Die Funktion1
f ∈R+0 →R, f(x) =x2
ist hingegen injektiv, obwohl der Funktionsterm gleich ist. Da aber R+0
keine negativen Zahlen enthält, gibt es keine zwei verschiedenen Elemente inR+0, deren Quadrat gleich ist.
Entscheiden Sie von folgenden Funktionen, ob sie injektiv sind.
f ∈R→R, f(x) =x3
f ∈R→R, f(x) = cos(x)
f ∈[0, π]→R, f(x) = cos(x) f ∈[−π/2,π/2]→R, f(x) = cos(x) f ∈[−π/2,π/2]→R, f(x) = sin(x).
Aufgabe 11. Eine Funktionf ∈A→ B heißt surjektiv, wenn jedes Element vonB als Funktionswert von f vorkommt, d.h. wenn es zu jedem b ∈B eina∈Agibt mitf(a) =b. Dies lässt sich kurz ausdrücken durch
∀b∈B∃a∈A f(a) =b.
Im Mengendiagramm erkennt man eine nicht surjektive Funtion daran, dass es Elemente ausB gibt, bei denen kein Pfeil endet.
A B
b f
So ist die Funktion
f ∈R→R, f(x) =x2
nicht surjektiv, da z.B.−3∈R, aberf(x)6=−3 für allex∈R.
1Die MengeR+0 ist die Menge aller nicht negativer, reller Zahlen
Die Funktion
f ∈R→R+0, f(x) =x2
ist hingegen surjektiv, obwohl der Funktionsterm gleich ist. Zu jedemy∈ R+0 existiert einx∈Rmitf(x) =y, nämlichx=√
y.
Entscheiden Sie von folgenden Funktionen, ob sie surjektiv sind.
f ∈R→R, f(x) =x3
f ∈R→R, f(x) = cos(x)
f ∈R→[−1,1], f(x) = cos(x) f ∈[0,π/2]→[−1,1], f(x) = cos(x)
f ∈R→R, f(x) =ex
f ∈R+→R, f(x) = ln(x).
Aufgabe 12. Seien f, g ∈ R → R zwei injektive Funktionen. Begründen Sie, weshalb dann auchf◦geine injektive Funktion ist. Schreiben Sie zunächst auf, was Sie überf, g wissen und was Sie überf◦gzeigen müssen.
Aufgabe 13. Die Funktionf ∈(Z×N)→Qist definiert durch f(x, y) =x/y.
Istf injektiv bzw. surjektiv? Geben Sie jeweils einen Satz Begründung.
Aufgabe 14. Sei
A = {1,2,3}
B = {4,5}.
Begründen Sie weshalb es in der MengeA→B keine bijektive Funktion gibt.
Aufgabe 15. Für jede RelationR ist die UmkehrrelationR−1 definiert durch R−1={(a, b)|bRa}.
SeiA={1,2,3}. Finden Sie eine Relation Rso dass
• (A, A, R) und (A, A, R−1) Funktionen sind
• (A, A, R) eine Funktion ist, aber (A, A, R−1) keine Funktion ist.
Aufgabe 16. Sei
A = {1,2,3}
B = {6,7,8}.
Finden Sie eine RelationR⊆A×B so dass a.) (A, B, R) und (B, A, R−1) Funktionen sind.
b.) (A, B, R) eine Funktion ist, (B, A, R−1) aber keine Funktion ist.
c.) (A, B, R) keine Funktion ist, (B, A, R−1) aber eine Funktion ist.
d.) Weder (A, B, R) noch (B, A, R−1) eine Funktion ist.
Aufgabe 17. Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Am Schaubild erkennt man eine bijektive Funktion daran, dass die Pfeile eine 1:1 Zuordnung zwischen den Elementen vonA undB bilden.
A B
f
Istf = (A, B, R) eine bijektive Funktion, dann ist auchf−1= (B, A, R−1) eine bijektive Funktion und heißt Umkehrfunktion vonf.
Sei
A={1,2}, B={3,4}, R={(1,3),(2,4)}.
Dann istf = (A, B, R) eine bijektive Funktion. Die Umkehrrelation von Rist
R−1={(3,1),(4,2)}.
Damit istf−1= (B, A, R−1) die Umkehrfunktion vonf und offensichtlich ebenfalls bijektiv. Es gilt
f(1) = 3 f−1(3) = 1
f(2) = 4 f−1(4) = 2
A B
f
f−1 f
f−1
f
f−1 2 4
3 1
Stellen Sief undf−1in einem Mengendiagramm mit Pfeilen dar.
Aufgabe 18. Für eine bijektive Funktion f, die durch einen Funktionsterm gegeben ist, stellt sich das Problem, einen Funktionsterm für die Umkehr- funktionf−1zu finden.
Sei z.B.
f ∈R→R+, f(x) =e3x+1.
Es gilt
f(x) =y genau dann wenn f−1(y) =x.
f
f−1
x y
f−1(y) ist folglich dasx, für dasf(x) =y ist bzw.
e3x+1=y.
Um nun einen Term fürf−1(y) zu bekommen, muss dieses xin Abhän- gigkeit von y berechnet werden bzw. diese Gleichung nach x aufgelöst werden. Da f eine bijektive Funktion ist, hat diese Gleichung für jedes y∈R+ genau eine Lösungx∈R.
3x+ 1 = ln(y) 3x = ln(y)−1
x = ln(y)−1
3 .
Damit ist
f−1∈R+→R, f−1(y) = ln(y)−1
3 .
Berechnen Sie in gleicher Weise die Umkehrfunktion von f ∈R\ {6} →R\ {0}, f(x) = 1
x/2−3. Aufgabe 19. Skizzieren Sie die Funktion
f ∈R→R, f(x) = cos(x).
Erklären Sie, weshalb diese Funktion weder injektiv noch surjektiv ist.
Schränkt man den Cosinus jedoch ein, erhält man die bijektive Funktion f ∈[0, π]→[−1,1], f(x) = cos(x).
Am Schaubild erkennt man, dass diese Funktion streng monoton fallend und daher injektiv ist. Sie nimmt jeden Wert aus [−1,1] an und ist daher surjektiv.
Die Umkehrfunktion dieser Funktion ist der Arcus Cosinus, d.h.
f−1∈[−1,1]→[0, π], f−1(x) = arccos(x).
Diese Funktion ist nur auf dem Intervall [−1,1] definiert. Probieren Sie aus, was Ihr Taschenrechner liefert, wenn Sie z.B. arccos(2) eingeben.
Finden Sie zwei möglichst große MengenA, B so dass die eingeschränkte Sinusfunktion
f ∈A→B, f(x) = sin(x) bijektiv ist. Wie ist die Arcus Sinus Funktion definiert?
Finden Sie zwei möglichst große MengenA, B so dass die eingeschränkte Tangensfunktion
f ∈A→B, f(x) = tan(x) bijektiv ist. Skizzieren Sie dazu den Tangens.
Aufgabe 20. Sei
f ∈R+0 →R+0, f(x) = p
e√x−1.
Hat f eine Umkehrfunktion? Falls ja, berechnen Sie diese, falls nein, be- gründen Sie weshalbf keine Umkehrfunktion hat.
Aufgabe 21. Die Funktion f ∈ R×(R\ {0})
→ R×(R\ {0})
, f(x1, x2) = (x1+x2,1/x2) ist bijektiv. Berechnen Sie einen Funktionsterm fürf−1.
Aufgabe 22. Ist die Funktion
f = {0,1},{0,2},{(0,2),(1,0)}
invertierbar? Falls ja berechnen Sie die Umkehrfunktion.
Aufgabe 23. Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ln(2x2) = 1 + 3 ln(x).
Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
Aufgabe 24. Berechnen Sie die Lösungsmenge der Gleichung ex−2e−x = 0.
Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
