Übungen zu Mathematik 2

Heilbronn, den 18.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 2

Blatt 4

Zu bearbeiten bis 25.10.2021

Name: Matrikelnr.:

Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.

• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.

• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.

Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).

Aufgabe 1. Seien

~a1, . . . , ~an ∈R^m

linear unabhängige Vektoren undA= (~a1, ~a2, . . . , ~an).

Zeigen Sie, dass dann die Funktion

f ∈Rⁿ→R^m, f(~x) = A~x

injektiv ist. Sie dürfen alle in der Vorlesung gezeigten Eigenschaften von linear unabhängigen Vektoren verwenden.

Aufgabe 2. Sei

f ∈R²→R², f x1

x2

=

x1+x2

x2

.

Berechnen Sie eine MatrixAso dass (f ◦f) +f

(~x) = A~x für alle~x∈R².

Aufgabe 3. In der digitalen Signalverarbeitung spielt die si-Funktion eine wich- tige Rolle. Sie ist definiert durch

si∈R→R, si(x) =

sin(x)

x fallsx6= 0 1 sonst

1

−2π 2π

x si(x)

−1 1

−2π 2π x Si(x)

Die si-Funktion hat zwar eine Stammfunktion Si(x), diese ist jedoch ähn- lich wie diee^(x2)Funktion nicht duch einen Term mit den üblichen Funk- tionssymbolen darstellbar. Man bezeichnet solche Funktionen als nicht elementar integrierbar. Das Problem der Berechnung einer Stammfunkti- on einer beliebigen elementar integrierbaren Funktion wurde von Robert H. Risch 1968 gelöst (Risch Algorithmus). Die Si-Funktion heißt Integral- sinus und tritt u.a. in Erscheinung wenn man die Artefakte an Farbkanten von JPEG komprimierten Bildern erklären möchte (siehe Gibbssches Phä- nomen). Um mit der Si-Funktion arbeiten zu können, soll ihre Taylor Reihe berechnet werden. Gehen Sie also von der Taylor Reihe der Sinus Funktion aus und berechnen Sie daraus die Taylor Reihe der si-Funktion. Diese kann nun gliedweise integriert werden, d.h. sie müssen von jedem Summanden eine Stammfunktion bestimmen. Wählen Sie die Integrationskonstante so dass Si(0) = 0.

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass für allet undεgilt Z t+ε

t−ε

cos(u)du = 2 sin(ε) cos(t).

Aufgabe 5. Seien M1, M2 ⊆ Rⁿ abgeschlossen unter Addition und skalarer Multiplikation. Zeigen Sie, dass dann auch M1 ∩M2 abgeschlossen ist unter Addition und skalarer Multiplikation. Da Vektorräume genau die Teilmengen vonRⁿ sind, die unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen sind, ist die Schnittmenge von Vektorräumen wieder ein Vektorraum. Gilt dies auch für die Vereinigungsmenge? Geben Sie einen Beweis oder ein Gegenbeispiel.

Aufgabe 6. Seif ∈R²→R³definiert durch

f x₁

x₂

=





x₁+x₂ 3x₁ 2x₁−x₂





Zeigen Sie, dassf linear ist und zwar

• indem Sie die beiden Linearitätsbedingungen nachweisen und

• indem Sie eine MatrixA∈R^3×2 finden so dass f(~x) =A~x für alle~x∈R² gilt.

Aufgabe 7. Seif ∈R³→R²definiert durch

f



 x y z



=

2z−y x

.

Finden Sie eine MatrixAso dass

f(~x) =A~x für alle~x∈R³.

Aufgabe 8. Seif ∈R²→R²undg∈R²→R³definiert durch

f x

y

=

x+y 2x

, g

x y

=



 y x−y

2x



.

Berechnen Sie MatrizenA, B, C so dass

f(~x) =A~x, g(~x) =B~x und g(f(~x)) =C~x für alle~x∈R².

Aufgabe 9. Seif ∈R²→R² eine Funktion, die jeden Punkt~x∈R²an dery- Achse spiegelt. Berechnen Sie einen Funktionsterm fürf. Istf eine lineare Funktion? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 10. Seif ∈R→Rdefiniert durch f(x) =

x falls x∈Q

−x falls x6∈Q

Entscheiden Sie von beiden Linearitätsbedingungen, obf sie erfüllt. Geben Sie jeweils eine kurze Begründung.

Aufgabe 11. Seif ∈R²→R² definiert durch f

x₁ x₂

=

x₁+x₂ x₁

.

Daf bijektiv ist, besitzt f eine Umkehrfunktionf⁻¹. Berechnen Sie die Matrix fürf und fürf⁻¹.

Aufgabe 12. Seiαein fester Wert undf ∈R²→R² die lineare Funktion mit Matrix Darstellung

A =

cos(α) −sin(α) sin(α) cos(α)

.

Wählen Sie einen festen Wert fürα, berechnen Sie damit die Funktions- werte der kanonischen Basisvektoren und zeichen Sie diese in ein Koordi- natensystem ein. Wie kann man allgemein geometrisch beschreiben, was die Funktionf mit einem Vektor~x“macht”?

Aufgabe 13. Von einer linearen Funktionf ∈R²→R²sei bekannt, dass f

x₁ x₂

= x₁ a

1

+x₂ 3

b

für alle~x∈R² und

f 1

2

= a²

a

.

Bestimmen Sie die Konstantena, b. Gibt es mehrere Möglichkeiten?

Aufgabe 14. Seif ∈R²→R² definiert durch f

x1

x₂

=

x1−x2

2x₁−x₂

.

• Berechnen Sie eine Matrix Aso dassf(~x) =A~x.

• Berechnen Sie die inverse MatrixA⁻¹.

• Berechnen Sie den Funktionsterm für die Umkehrfunktionf⁻¹.

Aufgabe 15. Seif ∈R²→Reine lineare Funktion mit f(~e₁) = 2

f(~e2) = 5 Berechnen Sie

f 2

−3

.

Aufgabe 16. Seieng, h∈R²→R² zwei lineare Funktionen mit g(~x) = A~x

h(~x) = B~x.

Seif ∈R³→R⁴ definiert durch

f



 x1

x2

x3



 =







 g

x1

x2

h x2

x3







 .

Berechnen Sie einen Matrix fürf. Aufgabe 17. Zeigen Sie, dass die Funktion

f ∈R³→R³, f(~x) =−~x linear ist.

Aufgabe 18. Nennen Sie ein Beispiel für ein System von drei linear unabhän- gigen Vektoren imR⁴.

Aufgabe 19. Wennf, glineare Funktionen sind, dann ist auch die Komposition f◦g linear. Eine Möglichkeit, dies zu zeigen ist mit Hilfe von Matrizen:

Daf, g linear sind, gibt es MatrizenA, B so dass f(~x) =A~x, g(~x) =B~x und damit ist

(f ◦g)(~x) = f(g(~x))

= f(B~x)

= AB~x.

Da es für die Funktionf ◦g somit eine MatrixAB gibt, mit (f◦g)(~x) = AB~x

für alle~x, istf◦g linear.

Beweisen Sie die Linerität vonf◦g nun auf dem direkten Weg, indem Sie die beiden Linearitätseigenschaften zeigen:

(f◦g)(~x+~y) = (f◦g)(~x) + (f◦g)(~x) (f ◦g)(u~x) = u(f ◦g)(~x).

Nutzen Sie dabei die Linearitätseigenschaften vonf undg.

Aufgabe 20. Sei

f ∈R²→R³, f x1

x2

=



 x2

x2

x2+x1





g∈R³→R², g



 x1

x2

x3



=

x2+x3

x1−x2

Berechnen Sie eine Matrix fürf ◦g und eine Matrix fürg◦f. Pflichtaufgabe.

• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?

• Was fanden Sie besonders schwierig?

• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?