Übungen zu Mathematik 2

Heilbronn, den 4.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 2

Blatt 2

Zu bearbeiten bis 11.10.2021

Name: Matrikelnr.:

Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.

• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.

• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.

Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).

Aufgabe 1. Berechen Sie das Matrix Produkt 1 2

−2 −3

0 1 −1

1 2 0

Aufgabe 2. Berechnen Sie

1 −3 4

−2 0 −1





1 −2 3

0 1 1

−3 2 2



.

Führen Sie die Berechnung einmal mit der Regel “Zeile mal Spalte” durch und einmal spaltenweise mit Matrix - Vektor Multiplikationen. Der Re- chenweg muss ersichtlich sein.

Aufgabe 3. SeiAeine Matrix, in der diei-te Zeile komplett Null ist undBeine beliebige Matrix. Welche Komponenten vonABsind dann mit Sicherheit Null? Sei nunAeine Matrix, in der diej-te Spalte komplett Null ist. Was kann man jetzt über die MatrixABsagen?

Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass die Matrix Multiplikation distributiv über der Matrix Addition ist, d.h.

A(B+C) =AB+AC.

Sie dürfen hierbei verwenden, dass

A(~b+~c) =A~b+A~c.

Hinweis: Zerlegen Sie die Matrizen B und C in ihre Spalten und führen Sie die Matrix Multiplikationen spaltenweise durch. Beginnen Sie also mit

B+C = (~b1+~c1 ~b2+~c2 . . . ~bn+~cn)

und

A(B+C) = A(~b1+~c1 ~b2+~c2 . . . ~bn+~cn)

= A(~b1+~c1) A(~b2+~c2) . . . A(~bn+~cn) ...

= AB+AC

Aufgabe 5. Sie haben das ProduktC zweier MatrizenAundB berechnet.

• Nachträglich wird nun die Komponente aij der MatrixAverändert.

Welche Komponenten von Cmüssen dann neu berechnet werden?

• Nachträglich wird nun die Komponente bij der MatrixB verändert.

Welche Komponenten von Cmüssen dann neu berechnet werden?

Geben Sie eine kurze Begründung!

Aufgabe 6. Finden Sie zwei MatrizenA, B so dass

AB =

ab+cf ad+ch eb+gf ed+gh

Aufgabe 7. Von einer Funktion f(x) sei eine Stammfunktion F(x) bekannt.

Berechnen Sie hiermit eine Stammfunktion von 1

xf(ln(x)).

Aufgabe 8. Berechnen Sie Z

cos(x)p

sin(x)dx.

Aufgabe 9. Seif eineT-periodische Funktion, d.h.

f(t+T) = f(t) für allet.

Sei weiterhin

Z T 0

f(t)dt = 0.

Zeigen Sie, dass dann auch die Funktion

g(t) = Z t

0

f(τ)dτ eineT-periodische Funktion ist, d.h.

g(t+T) = g(t) für allet.

Aufgabe 10. Zeigen Sie, dass Z b

a

f(c−x)dx = Z c−a

c−b

f(x)dx.

Aufgabe 11. Berechnen Sie für eine beliebige Funktionf(x) das Integral Z f⁰(x)

f(x)dx.

Aufgabe 12. Zeigen Sie, dass für alle quadratischen MatrizenA, Bundn∈N gilt

(AB)ⁿ = A(BA)ⁿ⁻¹B.

Aufgabe 13. Gilt für beliebige quadratische Matrizen A, B und n ∈ N die Formel

(AB)ⁿ = AⁿBⁿ? Begründen Sie Ihre Antwort.

Aufgabe 14. Sei~xb eine Lösung des LGS A~x=~b

und~x0 eine Lösung des zugehörigen homogenen LGS A~x=~0.

Zeigen Sie, dass dann~xb+~x0 Lösung vonA~x=~bist.

Aufgabe 15. Berechnen Sie für beliebigesxundy die inverse Matrix von





1 x y 0 1 0 0 0 1





Aufgabe 16. Seiαbeliebig und

A =

cos(α) −sin(α) sin(α) cos(α)

.

Zeigen Sie, dass dann

A^TA = E.

Aufgabe 17. Für zwei Zahlena, bgiltab= 0 nur wenna= 0 oderb= 0. Gilt dies auch für Matrizen? Sei

N =

0 0 0 0

die 2×2 Nullmatrix. Gibt es zwei Matrizen A, B∈R^2×2 so dassA6=N, B6=N aberAB=N? Geben Sie eine Begründung.

Aufgabe 18. Zwei MatrizenA, B ∈R^n×n heißen ähnlich, wenn es eine Matrix T gibt, so dass

T⁻¹AT = B.

Seien nunA, B ∈R^n×n zwei reguläre Matrizen. Zeigen Sie, dassAB und BAähnlich sind.

Aufgabe 19. Eine MatrixA∈R^n×n heißt symmetrisch, wennA^T=A. Seien A, Bsymmetrische Matrizen.

• Zeigen Sie durch ein Gegenbeispiel, dass dann AB nicht notwendig symmetrisch ist.

• Zeigen Sie, dass

AB = (BA)^T.

Aufgabe 20. Sei A ∈ R^n×n eine reguläre Matrix. Zeigen Sie, dass für jedes n∈Ngilt

A⁻¹ⁿ

= (Aⁿ)⁻¹. Hierbei ist

Aⁿ = AA· · ·A

| {z }

nmal

.

Aufgabe 21. Zeigen Sie, dass

(A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T. Sie dürfen in der Herleitung verwenden, dass

(AB)^T = B^TA^T. Aufgabe 22. Zeigen Sie, dass

(A~x)◦(A~y) = ~x^TA^TA~y.

Hinweis: Nutzen Sie, dass

~

x◦~y = ~x^T~y

wobei auf der rechten Seite~xund~y als Matrizen interpretiert und multi- pliziert werden.

Aufgabe 23. Ein Vektor~b heißt Linearkombination von Vektoren ~a1, . . . ~an, wenn er sich als gewichtete Summe dieser Vektoren darstellen lässt, d.h.

wenn es Gewichtex1, . . . , xn gibt so dass

~b = x1~a1+. . .+xn~an

ist. Seien

~a1=



 1 0 1



, ~a2=



 2 1 1



, ~a3=



 1 1 0



, ~b=



 5 2 3



.

Zeigen Sie, dass~b Linearkombination von ~a1, ~a2, ~a3 ist. Gibt es mehrere Möglichkeiten für die Wahl der Gewichtex1, x2, x3?

Aufgabe 24. Vektoren~a₁, . . . ~a_n heißen linear unabhängig, wenn keiner von ihnen Linearkombination der anderen ist. Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig?

~a1=



 1 0 1



, ~a2=



 2 1 1



, ~a3=



 1 1 0



.

Aufgabe 25. Die Menge aller Linearkombinationen von Vekoren ~a1, . . . , ~an

heißt lineare Hülle von~a1, . . . , ~an, geschrieben

L(~a₁, . . . , ~a_n) = {x₁~a₁+. . .+x_n~a_n|x₁, . . . , x_n∈R}.

Sei

~a₁=



 1 0 1



, ~a₂=



 2 1 1



, ~a₃=



 1 1 0



, ~b=



 4 2 3



.

Begründen Sie, weshalb

~b6∈L(~a₁, ~a₂, ~a₃).

Hinweis: Sie müssen hierfür lediglich zeigen, dass die Gleichung

~b = x₁~a₁+x₂~a₂+x₃~a₃. keine Lösung hat.

Aufgabe 26. Zeigen Sie, dass sich jeder Vektor~b∈R² als Linearkombination der Vektoren

~a1= 1

2

und~a2= 3

4

darstellen lässt.

Aufgabe 27. Sei

~a₁=



 2 3 1



, ~a₂=





−1 1 5



.

Finden Sie einen Vektor~b, für den gilt

~b6∈L(~a1, ~a2).

Aufgabe 28. Eine Menge M ⊆ Rⁿ heißt abgeschlossen unter Addition und unter skalarer Multiplikation wenn für alle~x, ~y∈M undu∈Rgilt

~

x+~y∈M und u~x∈M.

Die einfachsten Beispiele für solche Mengen sind Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Tatsächlich treten Mengen mit diesen Abschlusseigen- schaften nicht nur in der Vektorrechnung sondern in vielen anderen Ge- bieten auf wie z.B. Polynome, Fourier Reihen, Eigenvektoren und Differ- entialgleichungen.

• Sei~a₁, . . . , ~a_n ∈R^m und

M = {x1~a1+. . .+xn~an|x1, . . . , xn∈R}.

Zeigen Sie, dass M abgeschlossen ist unter Addition und unter ska- larer Multiplikation. Gehen Sie für die Addition wie folgt vor:

– Annahme:~x, ~y∈M, d.h. es gibtr1, . . . , rnunds1, . . . , snso dass

~

x = r₁~a₁+. . .+r_n~a_n

~

y = s1~a1+. . .+sn~an. – Zu zeigen: ~x+~y∈M, d.h. es gibtt1, . . . , tn so dass

~

x+~y = t1~a1+. . .+tn~an. Die Berechnung vont₁, . . . , tn ist dann einfach.

• Sei M die Menge aller Polynome. Zeigen Sie, dass M abgeschlossen ist unter Addition und unter skalarer Multiplikation, d.h. für alle Polynomep(x), q(x) und alle Skalareuist auchp(x)+q(x) undup(x) ein Polynom. Gehen Sie für die Addition wie folgt vor:

– Annahme:p(x), q(x) sind Polynome, d.h. es gibt a0, . . . , an und b0, . . . , bn so dass

p(x) = a₀+a₁x+. . .+anxⁿ q(x) = b0+b1x+. . .+bnxⁿ.

– Zu zeigen: p(x) +q(x) ist ein Polynom, d.h. es gibtc0, . . . , cn so dass

p(x) +q(x) = c0+c1x+. . .+cnxⁿ.

• Eine Funktionf ∈R→Rheißt T-periodisch, wenn f(t+T) = f(t)

für alle t. Sei M die Menge aller T-periodischer Funktionen, wobei T eine Konstante ist. Zeigen Sie, dassM abgeschlossen ist unter Ad- dition und unter skalarer Multiplikation. Gehen Sie für die Addition wie folgt vor:

– Annahme:f(t), g(t) seienT-periodisch, d.h.

f(t+T) = f(t) g(t+T) = g(t) für allet.

– Zu zeigen: (f+g)(t) istT-periodisch, d.h.

(f+g)(t+T) = (f+g)(t).

Ab hier ist der Beweis einfach, da

(f+g)(t+T) = f(t+T) +g(t+T).

• Sei A∈R^n×n,λ∈Rund

M = {~x∈Rⁿ|A~x=λ~x}.

Zeigen Sie, dass M abgeschlossen ist unter Addition und unter ska- larer Multiplikation. Gehen Sie für die Addition wie folgt vor:

– Annahme:~x, ~y∈M, d.h.

A~x = λ~x A~y = λ~y.

– Zu zeigen: ~x+~y∈M, d.h.

A(~x+~y) = λ(~x+~y).

Sie benötigen hierfür nur elementare Matrix Arithmetik.

• Sei M die Menge aller Funktionenf ∈R→R, für die gilt f⁰(x) + sin(x)f(x) = 0.

Beispiele für Elemente von M sind f(x) = 0 f(x) = e^cos(x).

Zeigen Sie, dass M abgeschlossen ist unter Addition und unter ska- larer Multiplikation. Gehen Sie für die Addition wie folgt vor:

– Seienf, g∈M, d.h.

f⁰(x) + sin(x)f(x) = 0 g⁰(x) + sin(x)g(x) = 0.

– Zu zeigen: f+g∈M, d.h.

(f+g)⁰(x) + sin(x)(f+g)(x) = 0.

Hierfür benötigen Sie nur die Summenregel der Ableitung.

Pflichtaufgabe.

• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?

• Was fanden Sie besonders schwierig?

• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?