1. Gegeben sei die Matrix

Lineare Algebra II und Geometrie

Ubung, LVA 405.081 ¨

C. Fuchs, S. Heintze

12. ¨ Ubungsblatt , WS 2020/21 27.01.2021

1. Gegeben sei die Matrix

A = 1 2









x 1 1 1

y 1 −1 1 z 1 −1 −1 w 1 1 −1







 .

F¨ ur welche x, y, z, w ∈ R bzw. C ist A eine orthogonale bzw. unit¨ are Matrix, d.h.

gilt A ∈ O(4) bzw. ∈ U(4)?

2. Auf C ² bzw. C ³ ist je ein unit¨ ares Skalarprodukt gegeben durch

M _η (σ) =

2 i

−i 1

bzw. M _η

(σ ⁰ ) =





2 0 1 0 1 0 1 0 1



 ,

wo η, η ⁰ je die kanonische Basis bezeichnet. Bestimme f¨ ur ϕ ∈ Hom( C ² , C ³ ) mit

M ηη

(ϕ) =





1 1 + i

i 0

0 1





die Matrix M _η

_η (ϕ ^∧ ). ¨ Uberpr¨ ufe ϕ(v) · w = v · ϕ ^∧ (w) f¨ ur v = ^t (1, 2), w = ^t (1, 1, 1).

3. Eine Endomorphismus ϕ des unit¨ aren Vektorraumes C ³ (kanonisches Skalarprodukt) ist gegeben durch

M _ηβ (ϕ) = 1 7





−3 + 2i 2i 6 3 − 6i 3 −2i 2 − 6i −6i 3



 ,

wobei η bzw. e ₁ , e ₂ , e ₃ die kanonische Basis und β die Basis e ₁ + e ₂ , e ₂ , e ₃ bezeichnet.

Bestimme M _ηη (ϕ) und ¨ uberpr¨ ufe, ob ϕ hermitesch, schiefhermitesch, unit¨ ar oder normal ist.

4. Gegeben ist die symmetrische bzw. hermitesche Matrix

A =





1 0 1 0 1 1 1 1 0



 ∈ M ₃ ( R ) bzw. B =





1 i −i

−i 2 0 i 0 2



 ∈ M ₃ ( C ).

Bestimme Matrizen P ∈ O(3) bzw. Q ∈ U(3) so, dass P ⁻¹ AP bzw. Q ⁻¹ BQ Diago-

nalmatrizen sind.