Analysis II: ¨ Ubungsblatt Differential- und Integralrechnung f¨ ur mehrere Ver¨ anderliche Blatt 3
1. Gegeben sei das Vektorfeld:
~ v =
cos x + y + e
zx x · e
z
, mit (x, y, z) ∈ R3.
Betimmen Sie das Potential von ~ v. ¨ Uberpr¨ ufen Sie zuerst die Integrabilit¨ atsbedingung.
2. Gegeben sei das Vektorfeld:
~ v =
yz
2−z
2· sin(y) + xz
22z · cos(y) + 2xyz + e
z
, mit (x, y, z) ∈ R3.
Betimmen Sie das Potential von ~ v. ¨ Uberpr¨ ufen Sie zuerst die Integrabilit¨ atsbedingung.
3. Gegeben sei das ebene Coulomb-Feld:
~ v = 1 p x
2+ y
23· x y
!
, mit (x, y) ∈ R
2\ (0, 0).
Uberpr¨ ¨ ufen Sie, ob das Coulomb-Feld ein Potential haben k¨ onnte. Falls ja, hat es eines?
4. Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale durch das Vektorfeld aus Aufgabe 1.
(a) Weg:
~ r(t) =
2t + 1
t
2t
, 0 ≤ t ≤ 2
(b) Beliebiger Weg zwischen den Punkten P
1(0, 0, 0) und P
2(1, 2, 0) 5. Welche Vektorfelder sind konservativ?
(a)
~ v
a= 3 + 2x · sin y y
2+ x
3· e
2y· y
!
, (x, y) ∈ R
2(b)
~
v
b= 1 + ln(x · y)
x y
!
, (x, y) ∈ R
2+Analysis II: L ¨ OSUNGEN: Differential- und Integralrechnung f¨ ur mehrere Ver¨ anderliche Blatt 3
1. Integrabilit¨ atsbedingung ist erf¨ ullt.
Potential: F (x, y, z) = sin(x) + xy + xe
z+ C 2. Integrabilit¨ atsbedingung ist erf¨ ullt.
Potential: F (x, y, z) = cos(y) · z
2+ xyz
2+ e
z+ C 3. Integrabilit¨ atsbedingung ist erf¨ ullt.
Potential: F (x, y, z) = − √
1x2+y2
+ C
4. Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale durch das Vektorfeld aus Aufgabe 1.
(a)
Z
C
~ vd~ r = h sin(2t + 1) + 2t
3+ t
2+ e
t+ 2te
ti
20
= sin(5) + 5e
2+ 19 − sin(1)
(b) Weg (z.B.):
~ r(t) =
t 2t
0
, 0 ≤ t ≤ 1
Z
C
~ vd~ r = h sin(t) + t
2+ t i2
0
