Aufgabe 1 (Nondeterministic Logspace). Ein gerichteter Graph G = (V , E ) heißt stark zusammenh¨ angend, falls es f¨ ur alle paarweise verschiedenen Kno- ten v

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Strukturelle Komplexit¨ atstheorie WS 2020/21

Ubungsblatt 2 ¨

Aufgabe 1 (Nondeterministic Logspace). Ein gerichteter Graph G = (V , E ) heißt stark zusammenh¨ angend, falls es f¨ ur alle paarweise verschiedenen Kno- ten v

, v

einen gerichteten Pfad von v

nach v

gibt.

Geh¨ ort das Problem

Eingabe: Ein gerichteter Graph G = (V , E ).

Frage: Ist G stark zusammenh¨ angend?

zur Komplexit¨ atsklasse NL?

Aufgabe 2 (Deterministic Logspace). Geh¨ ort das Problem Eingabe: Eine nat¨ urliche Zahl N in un¨ arer Kodierung.

Frage: Ist N eine Primzahl?

zur Komplexit¨ atsklasse L?

Aufgabe 3 (Satz von Savitch). Ermitteln Sie die Laufzeit des Algorithmus auf Folie 35. Berechnen Sie also den Zeitmehraufwand, der ben¨ otigt wird, um eine nichtdeterministische Turingmaschine mit nur quadratischem Platz- mehraufwand deterministisch zu simulieren.

Zur Erinnerung: Der Satz von Savitch besagt, dass f¨ ur Funktionen s (n) ∈ Ω(log n) gilt, dass NSPACE(s (n)) ⊆ DSPACE(s

(n)) ist.

Aufgabe 4 (Platzhierarchiesatz).

1. Geben Sie eine Bin¨ arkodierung f¨ ur 1-Band-Turingmaschinen an. Sie m¨ ussen diese dabei nicht vollst¨ andig definieren, sondern es gen¨ ugt, die Idee anzugeben.

2. Zeigen Sie die Aussage auf Folie 42: Wir k¨ onnen die Kodierung von Turingmaschinen und U so w¨ ahlen, dass es f¨ ur jedes x ∈ {0, 1}

eine nur von M

abh¨ angige Konstante k gibt mit:

” Wenn M

s -platzbeschr¨ ankt ist, dann hat U bei Eingabe hx , w i Platzbedarf h¨ ochstens k · s (|w|) +

1

1+δ

log

(|w|).“Auch hier gen¨ ugt es, die Idee anzugeben

1