Aufgabe 1: Man zeige: Ein Gebiet G ist genau dann homologisch einfach zusammenh¨angend, wenn f¨ur alle a ∈ C \ G, die Funktion z 7→ log |z − a|

PD Dr. S. Orlik SS 09

Einf¨ uhrung in die komplexe Analysis 9. ¨ Ubungsblatt

Aufgabe 1: Man zeige: Ein Gebiet G ist genau dann homologisch einfach zusammenh¨angend, wenn f¨ur alle a ∈ C \ G, die Funktion z 7→ log |z − a|

Realteil einer Funktion in O(G) ist.

Aufgabe 2: Welche der Folgen konvergieren kompakt ? a) f

(z) = 2

z(z − 1)(z −

) · · · (z −

) auf E.

b) g

(z) = P

k=1 1

k

sin

auf C.

Aufgabe 3: Sei G ⊂ C ein Gebiet und (f

)

eine kompakt konvergente

Folge mit Grenzfunktion f 6= 0. Man zeige: Gibt es ein k ∈ Z

, sodass keine

der Funktionen f

mehr als k Nullstellen hat, so hat auch f h¨ochstens k

verschiedene Nullstellen.