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Gegeben sei die Matrix

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Academic year: 2021

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Prof. Lars Diening, Sebastian Schwarzacher, Hans Irl 04.11.2011

Numerik — Blatt 3 Abgabe: Freitag, den 11. November, vor der Vorlesung

Aufgabe 1: 8 Punkte

Gegeben sei die Matrix

A :=

2 −1 0

0 3 −1

−1 0 2

Berechnen Sie f¨ ur A die Werte ρ(A), k·k

1

, k·k

2

, k·k

∞

Aufgabe 2: 12 Punkte

Wir betrachten die Matrix

K :=

k

1

+ k

2

−k

2

−k

2

k

2

+ k

3

−k

3

−k

3

k

3

+ k

4

. ..

. .. . .. −k

n

−k

n

k

n

+ k

n+1

 ,

k

i

> 0 f¨ ur i = 1, ..., n + 1. Wir setzen K

0

= K − K

1

mit

K

1

:=

k

1

0 · · · 0 0 0 . .. 0 .. . . .. ... 0 0 0 · · · 0

und wollen die Gleichungssysteme Kx = b und K

0−1

Kx = K

0−1

b vergleichen.

(a) Berechnen Sie K

0−1

, indem Sie die Gleichungssysteme K

0

x

i

= e

i

,

e

i

i-ter Einheitsvektor, l¨ osen.

(b) Sch¨ atzen Sie cond

∞

(K) f¨ ur n = 3 nach unten ab. Betrachten Sie dazu die quadratische Form hKy, yi = y

t

Ky

(c) Vergleichen Sie cond

∞

(K

0−1

K) und cond

∞

(K) f¨ ur n = 3.

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