Heilbronn, den 5.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 3
Blatt 2
Zu bearbeiten bis 12.10.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Aus der Korrespondenz der Fourier Transformation f0(t) c s jωF(ω)
und
δ(t) c s 1 folgt
δ0(t) c s jω.
Berechnen Sie die Fouriert Transformierte von δ0(t) “zu Fuß”, d.h. oh- ne Verwendung dieser Korrespondenz mit partieller Integration und Aus- blendeigenschaft.
Aufgabe 2. Geben sie nachfolgende RC-Schaltung:
i R
ue(t) C ua(t)
• Zeigen Sie mit Hilfe der Gesetze der komplexen Wechselstromrech- nung, dass
Ua(ω) = 1
jωRC+ 1Ue(ω).
Hierbei sindUe(ω) undUa(ω) die Fourier Transformierten vonue(t) undua(t). Diese können als komplexe Zeiger interpretiert werden, die zu der Schwingungskomponente mit Kreisfrequenzω gehören.
1
• Zeigen Sie, dass für beliebigesa <0 gilt
σ(t)eat c s 1 jω−a.
• Berechnen Sie hiermit und mit Hilfe des Faltungssatzes der Fourier Transformation die Impulsantwort dieses Systems, d.h. die Funktion g(t) so dass
ua(t) = (g∗ue)(t).
• Sei
ue(t) =
1 falls 0< t <1 0 sonst.
Berechnen Sieua(t) durch Faltung. Hinweis: Sie müssen hier die Fälle t <0,t >1 und 0≤t≤1 unterscheiden.
Aufgabe 3. Sei
f(t) =
0 fürt <0 tet für 0≤t <1
1 fürt≥1
Berechnen Sie die Laplace TransformierteF(s) vonf(t) und geben Sie an für welche Werte vonsdiese existiert.
Aufgabe 4. Berechnen Sie die folgenden Integrale sofern sie existieren.
Z ∞ 0
cos(t)etdt,
Z 0
−∞
cos(t)etdt.
Aufgabe 5. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von f(t) = (σ(t)−σ(t−1))et. Hinweis: Zeichnen Sie zuerstσ(t−1) und σ(t).
Aufgabe 6. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von σ(t−2) cos(t−2)
σ(t) cos(t−2)
Aufgabe 7. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von cos(ωt). Der Dämp- fungssatz der Laplace Trasformation besagt, dass
e−atf(t) c s F(s+a).
Berechnen Sie damit die Laplace Transformiert von etcos(ωt) und von sin(ωt) cos(ωt). Stellen Sie dazu die Sinus Funktion als Summe zweier komplexere-Funktionen dar.
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Aufgabe 8. Bestimmen Sie die Originalfunktion f(t) der Laplace Transfor- mierten
F(s) = 2s+ 1 (s+ 1)2 Hinweis: Partialbruchzerlegung.
Aufgabe 9. Berechnen Sie die inverse Laplace Transformierte von
F(s) = 4
(s−1)4es.
Aufgabe 10. Berechnen Sie für beliebigest >0 das bestimmte Integral g(t) =
Z t 0
δ(τ−1)dτ.
Aufgabe 11. Berechnen Sie eine Funktionf(t) mit f(t) c s s+ 1
s2+s−2.
Hinweis: Partialbruchzerlegung. Bei der Rücktransformation der Partial- brüche hilft die Korrespondenz
1
s−a s c σ(t)eat.
Aufgabe 12. Berechnen Sie die Laplace TransformierteF(s) von f(t) = σ(t)sin(ωt)
eat .
Aufgabe 13. Bestimmen Sie die Originalfunktionf(t) der Laplace Transfor- mierten
F(s) = 4s+ 3 s2+ 1.
Aufgabe 14. Transformieren Sie die Funktion F(s) = 1
(s+ 1)es
in den Zeitbereich. Lösen Sie die Aufgabe auf mehrere Weisen.
Aufgabe 15. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von f(t) = σ(t)
√ et.
Sie dürfen alle Korrespondenzen im Anhang des Skripts benutzen.
Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
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