Übungen zu Mathematik 1 Blatt 2 Zu bearbeiten bis 14.10.2021

Heilbronn, den 7.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 1

Blatt 2

Zu bearbeiten bis 14.10.2021

Name: Matrikelnr.:

Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.

• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.

• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.

Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).

Aufgabe 1. Stellen Sie den Term 2^xp

sin(x+y)

als Baum dar. Überlegen Sie sich zunächst welche Funktionssymbole im Term auftreten und lassen Sie sich von der Notation nicht irritieren. Ein Teilterm entspricht in dieser Darstellung einem Teilbaum. Teilterme sind somit z.B.

2, x, y,2^x, x+y, . . . Nennen Sie alle Teilterme des gegebenen Terms.

Aufgabe 2. Gegeben seien die Konstantensymbolec, d, die Variablensymbole x, yund die Funktionssymbolef (zweistellig) undg(einstellig). Damit ist z.B.

f(f(c, x), g(g(y)))

ein Term. Nennen Sie 5 weitere Terme, die aus den gegebenen Symbo- len bestehen. Wie viele Terme lassen sich mit den gegebenen Symbolen konstruieren?

Aufgabe 3. Ersetzen Sie in dem Term (x+ 3)²

√2x−y sin(x)

jedes Auftreten des Variablensymbolsxdurch den Term (3y−1).

Aufgabe 4. In natürlicher Sprache gibt es folgende Phänomene:

• Zwei unterschiedliche Worte mir der selben Bedeutung (Synonyme)

• Zwei unterschiedliche Dinge, die mit dem selben Wort bezeichnet werden (mehrdeutige Worte).

Finden Sie dazu je ein Beispiel. Welches Phänomen macht in der Kommu- nikation mehr Schwierigkeiten?

Aufgabe 5. Ersetzen Sie alle Vorkommen des Variablensymbolsxin dem Term px+ sin(2x+ 5)y

durch den Term

(cos(y) + 3).

Stellen Sie den Term vor und nach der Ersetzung jeweils als Baum dar.

Aufgabe 6. Terme sind Zeichenketten. Folglich sind die Terme x+y

und

y+x

unterschiedlich: Die erste Zeichenkette beginnt mit x, die zweite mit y.

Trotzdem besteht kein Zweifel daran, dass x+y=y+x.

Versuchen Sie den scheinbaren Widerspruch zu erklären.

Aufgabe 7. Sei

f(x) = x²e^x+ sin(2x) Was ist dann

f(y(2 +z))?

Aufgabe 8. Die folgenden 4 Karten sind so beschriftet, dass auf einer Seite ein Buchstabe und auf der anderen Seite eine Zahl steht. Welche Karten müssenSie umdrehen um zu entscheiden, ob folgende Aussage wahr ist:

Wenn auf einer Seite der Karte D steht, dann steht 3 auf der anderen Seite.

D K 3 7

Aufgabe 9. Ähnlich wie es Rechengesetze für Zahlen gibt, z.B.

(a+b)² = a²+ 2ab+b²,

die für alle Zahlena, bgelten, gibt es auch Rechengesetze für Wahrheits- werte. So gilt z.B.

¬F∨G = F →G

für alle Wahrheitswerte F, G. Hierbei bedeutet ¬ die Negation, ∨ oder und→wenn–dann. Die Negation bindet stärker als alle anderen logischen Funktionen, man kann sich also um¬F Klammern denken.

Formeln für Wahrheitswerte sind viel einfacher zu beweisen als Formeln für Zahlen, da es nur zwei Wahrheitswerte gibt aber unendlich viele Zahlen.

Für die beiden WahrheitswerteF undGgibt es somit nur vier Kombina- tionen. Damit lässt sich o.g. Formel in einer Wahrheitstabelle beweisen, indem man alle Kombinationen ausrechnet und zeigt, dass auf beiden Sei- ten immer der gleiche Wert herauskommt:

F G ¬F∨G F →G

w w w w

w f f f

f w w w

f f w w

Beweisen Sie damit auch die sog. Gesetze von de Morgan:

¬(F∧G) = ¬F∨ ¬G

¬(F∨G) = ¬F∧ ¬G.

Beweisen Sie weiterhin

F ↔G = (F →G)∧(G→F)

wobei↔genau dann wenn bedeutet:F ↔Gist wahr, wennF undGden gleichen Wahrheitswert haben und falsch sonst.

Aufgabe 10. Zeigen Sie anhand einer Wahrheitstabelle, dass F↔G = (F∧G)∨(¬F∧ ¬G).

Aufgabe 11. Finden Sie Wahrheitswerte fürF, G, H so dass sowohl F →(G→H)

wahr ist als auch

(F →G)→H falsch.

Aufgabe 12. Formen Sie den aussagenlogischen Term (F →G)→H

unter Verwendung der Rechengesetze der Aussagenlogik so um, dass kein

→mehr darin auftritt. Vereinfachen Sie den Term dann so weit wie mög- lich.

Aufgabe 13. Gegeben seien die Konstantensymbolea, b, die Variablensymbole x, yund die Funktionssymbolef (einstellig) undg(dreistellig). Damit ist z.B.

f(g(a, x, f(a)))

ein Term. Nennen Sie 5 weitere Terme, die aus den gegebenen Symbo- len bestehen. Wie viele Terme lassen sich mit den gegebenen Symbolen konstruieren?

Aufgabe 14. Stellen Sie den Term

sin(x²+y)e^2x

als Baum dar. Überlegen Sie sich zunächst welche Funktionssymbole im Term auftreten und lassen Sie sich von der Notation nicht irritieren. Ein Teilterm entspricht in dieser Darstellung einem Teilbaum. Teilterme sind somit z.B.

x, y,2, x², x²+y, . . . . Nennen Sie alle Teilterme des gegebenen Terms.

Aufgabe 15. Sei

f(x) = sin(3x)−x.

Berechnen Sief(2x+ 1).

Aufgabe 16. Enscheiden Sie von jeder der folgenden Zeichenketten, ob es sich um einen Term handelt oder nicht.

• 2 +x−5

• p√

x+ 1

• sin(x, y)

• 1 + (3≥2)

Aufgabe 17. Übersetzen Sie die Aussage

∀x∈N∃y∈Ny > x

in natürliche Sprache. Hierbei bedeutet∀x∈N“für allex∈Ngilt” und

∃y∈N“es gibt einy∈Nso dass”. Ist die Aussage wahr?

Aufgabe 18. SeiF(x) die Aussage “xist Primzahl”. Übersetzen Sie die For- meln

¬∀x F(x) und ∃x¬F(x)

in natürliche Sprache. Sagen die beiden Formeln das gleiche aus?

Gilt für jede AussageF(x), dass¬∀xF(x) und∃x¬F(x) äquivalent sind?

Gilt für jede AussageF(x), dass¬∃xF(x) und∀x¬F(x) äquivalent sind?

Aufgabe 19. Finden Sie ein Beispiel für zwei AussagenF(x) undG(x) so dass

∃x(F(x)∧G(x)) falsch ist, aber

(∃x F(x))∧(∃x G(x)) wahr.

Aufgabe 20. Berechnen Sie die MengeA\(B∩C) für A = {2,5,7,8}

B = {1,2,7,8}

C = {2,3,8}

Aufgabe 21. Finden Sie drei Mengen A, B, C so dass A ⊆ B, A ⊆ C aber nichtB⊆C gilt.

Aufgabe 22. Finden Sie zwei MengenA, B für die wederA⊆B nochB ⊆A gilt.

Aufgabe 23. Nennen Sie alle Teilmengen der Menge{1,2,3}. Hinweis: Es sind 8 Stück.

Aufgabe 24. Das Paar (a, b) ist definiert als die Menge (a, b) =

{a},{a, b} . Schreiben Sie die folgenden Paare als Menge.

(3,1), (1,3), (3,3).

Aufgabe 25. Entscheiden Sie von den folgenden Mengen, ob es sich um Paare handelt. Falls ja, nennen Sie dessen erste und zweite Komponente.

{3},{3,2}

{2,3},{3}

{2,3},{3,2}

{∅}

{∅} .

Aufgabe 26. Zwei Tripel sollen genau dann gleich sein, wenn ihre Komponen- ten gleich sind. Das Tripel (a, b, c) ist definiert durch

(a, b, c) = ((a, b), c).

Hätte man das Tripel auch wie folgt definieren können?

(a, b, c) = {{a},{b},{c},{a, b},{b, c}}?

Begründen Sie Ihre Antwort!

Aufgabe 27. Das Tripel (a, b, c) ist laut Definition eine geschachtelte Menge.

Nennen Sie zwei Elemente dieser Menge.

Aufgabe 28. Skatkarten sind ein Beispiel aus der “realen” Welt, wo kartesische Produkte auftreten. Eine Skatkarte ist ein Paar bestehend aus einer Farbe und einem Wert. So ist z.B.

(Kreuz,7) eine Skatkarte.

• Nennen Sie die MengenA, Bso dassA×Bdie Menge aller Skatkarten ist.

• Finden Sie ein anderes Beispiel aus der realen Welt, wo kartesische Produkte auftreten.

Aufgabe 29. Sie kennen den Begriff “kartesisches Koordinatensystem”. Was hat dies mit kartesischen Produkten zu tun?

Pflichtaufgabe.

• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?

• Was fanden Sie besonders schwierig?

• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?