at Karlsruhe SS2003
Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Prof. Dr. Peter Wole, Dr. Jan Brinkmann 06.06.03
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre janbritkm.uni-karlsruhe.de /Physikhohh.Zi.10.13
Ubungsblatt Nr. 6 zur Theorie B (Mehanik)
1 EinTeilhenderMasse m bewegtsihim3-dimensionalenRaumimPotential U(r)= a
jrj 2
.
a) ZeigenSie, da die Wirkung invariant istunter der innitesimalen Transformation
r
=r+"r ; t
=t+"2t ; das heit, S
= Z
t
b
t
a dt
L(r
;r_
)=S+O("
2
)
Hinweis: Entwikeln Sie S
bis ".Bestimmen Sie r_
dr
dt
.
b) Geben Sie mit Hilfe der Formel aus der Vorlesung (Noethertheorem) die zugehorige
Erhaltungsgroe Q an. ZeigenSie fur dieses Q, da dQ
dt
=0 gilt.
) Betrahten Sie nun 2 Teilhen der Masse m, die
uber ein Potential U(r
1 r
2 )
wehselwirken. Zeigen Sie, da mit der innitesimalen Galileitransformation
r
1
=r
1
"vt ; r
2
=r
2
"vt ; t
=t ; v=bel. konstanter Vektor;
die Wirkung
ubergeht in S
=S+onst:+O("
2
).
Was folgt darausfurdie Bewegungsgleihungen furdie r
i
?
2 Das mathematishe Pendel (eineMasse m hangt aneinem masselosenFadender Lange l
im Shwerefeld der Erde) soll durh Ausnutzen der Energieerhaltung gelost werden. ' ist
der Auslenkungswinkel aus der Senkrehten.
a) Geben Sie die Lagrangefunktion L(';')_ und die Gesamtenergie E(';')_ an.
PrufenSie nah, da Energieerhaltung gilt, dE
dt
=0.
b) '(t) soll nun fur eine gegebene Energie
E berehnet werden, ' sei klein: Shreiben
Sie dazu
E =E(';')_ in der Form '_ =u(') und dann 1
u(')
d'=dt.
Hinweis: os (')1 1
2 '
2
; geeignete Substitutionund Z
dx
p
1 x 2
=arsin (x).
) Wie lautetalso '(t)? Wogehen die Anfangsbedingungen ein?
Geben Sie '(t) anfur '(0)=0 und '(0)_ =
0 .
