Geben Sie alle linear unabhangigen harmonishen Losungen fur k0an, sowie dieallgemeine relleLosung k (x;t).Ist dieAnzahl der Integrations- konstanten korrekt? b) Zeigen Sie, da k dargestellt werden kann durh k (x;t)=Re e k (x;t

at Karlsruhe WS2004/2005

Institut f

ur Theoretishe Teilhenphysik

Institut f

ur Theorie der Kondensierten Materie

Dr. Robert Harlander, Dr. JanBrinkmann 24.11.04

http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre robert.harlanderern.h janbritkm.uni-karlsruhe.de



Ubungsblatt Nr. 6 zur Theorie C f



ur Lehramtskandidaten

1 Wellengleihung:

DieeindimensionaleWellengleihung lautet

2

x 2

1

2

2

t 2

(x;t)=0.

a) Furwelhe k, ! ist f(kx !t) eine Losung der Wellengleihung? f sei zunahst eine

beliebige reelle Funktion. Geben Sie alle linear unabhangigen harmonishen Losungen

fur k0an, sowie dieallgemeine relleLosung

k

(x;t).Ist dieAnzahl der Integrations-

konstanten korrekt?

b) Zeigen Sie, da

k

dargestellt werden kann durh

k

(x;t)=Re e

k

(x;t) ; e

k

(x;t)= e

A

k e

i(kx !t)

+ e

B

k e

i(kx+!t)

; k 0: (1)

Wie setzen sih die komplexen Konstanten e

A

k ,

e

B

k

aus den reellen Konstanten aus a)

zusammen?

2 Superposition harmonisher Wellen:

a) GehenSievonGl.(1)aus, undspezialisieren Sie

k

furdieRandbedingungen

k

(0;t)=

k

(L;t)=0; 8t. Welhe k sind noh erlaubt? SkizzierenSiedie Welle furt 0.

b) BildenSiedieallgemeinsteLosung (x;t)durhSuperpositionharmonisherWellen

k ,

(i)fur dieRandbedingungen aus a), (ii)ohne jede Randbedingungen.

) Angenommen, durh bestimmteAnfangsbedingungenbekommt (x;t) dieForm

(x;t) =Re Z

1

1

dkA(k)e ik(x t)

; mit

A(k) = Æ(k k

0

) oder

A(k) = (K jk k

0

j); K >0

Berehnen Sie (x;t) fur beide A(k). Skizzieren SieA(k)und

k .

3 Eihtransformation:

Gegeben Sei das Vektorpotential A(r)=(0; 0; A

0 ln[

p

x 2

+y 2

℄).

a) Man berehne das Magnetfeld B(r).

b) Durh die Eihtransformation A(r) 7! A 0

(r) = A(r)+r(r) wird auf ein anderes,

physikalish



aquivalentes VektorpotentialA 0

(r)



ubergegangen.

Finden Sie eine Eihfunktion (r) derart, da A 0

die Form A 0

= (A 0

x

;A 0

y

;0) annimmt,

und geben SieA 0

an.



UberprufenSie, da sih B(r) gegenuber a)nihtandert.

4 Maxwell-Gleihungen im Vakuum:

Gegeben sei eine ebene WellemitVektorpotentialA und Skalarpotential,

A(r;t)=A

0 e

i(kr !t)

; (r;t)=0 ; k;A

0

;!=konst.

a) Berehnen SieE(r;t) und B(r;t).

b) Zeigen Sie, da diese E und B die Maxwell-Gleihungen im Vakuum losen. Welhe Be-

dingungen folgenfurk; A

0

; !? Wasfolgt fur dieOrientierung vonk,E,B?