J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 09.01.2019
10. ¨Ubung zur Funktionalanalysis
A33: Es seien X, Y normierte R¨aume und T ∈ L(X, Y). Beweisen Sie: Ist (xα)α∈I eine summierbare Familie in X, so ist (T xα)α∈I summierbar in Y mit
T(X
α∈I
xα) =X
α∈I
T xα .
A34: Es seien X ein Hilbertraum und M ein Orthonormalsystem in X. Zeigen Sie: Ist (λe)e∈M eine abklingende Familie in K, so ist (λePe)e∈M summierbar in K(X).
A35: Es seiX ein seprarabler, unendlich-dimensionaler Hilbertraum. Zeigen Sie: IstK ⊂ K kompakt, und ist A ⊂ K abz¨ahlbar und dicht in K, so existiert ein Operator T ∈L(X) mitσ(T) = K und σp(T) = A. Ist dabeiK ⊂R, so kann T symmetrisch gew¨ahlt werden.
