PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 11¨
Abgabe bis Fr, 30.6., 8:15 Uhr
Aufgabe 1. Wir betrachten die Kategorie (Set)G rechter Wirkungen einer GruppeG.
(a) Seien zwei transitive Gruppenwirkungen X ×G → X und Y ×G→ Y gegeben sowiex∈X und y∈Y. Finden Sie ein Kriterium daf¨ur, wann es einen Morphis- mus vonf:X→Y in (Set)G mitf(x) =y gibt. Begr¨unden Sie die Antwort.
(b) Folgern Sie: Jede transitive rechte Gruppenwirkung X×G→X ist isomorph in (Set)G zu der Wirkung H\G×G → H\G, (Hg, g0) 7→ Hgg0, f¨ur eine geeignete UntergruppeH vonG.
Aufgabe 2. Seip:Y →X eine ¨Uberlagerung und p−1(x) abz¨ahlbar f¨ur jedesx∈X.
(a) Zeigen Sie: Ist X zweit-abz¨ahlbar, so auchY .
(b) Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit. Zeigen Sie, dass dann auch Y die Struktur einer glatten Mannigfaltigkeit tr¨agt, bez¨uglich derer die Abbildungp glatt wird.
Aufgabe 3. Zeigen Sie:
(a) Sei X eine glatte Mannigfaltigkeit und U ⊆ X offen. Definieren Sie auf U eine (kanonische) glatte Struktur, f¨ur welche die EinbettungU →X glatt wird.
(b) Seien X, Y glatte Mannigfaltigkeiten. Zeigen Sie: Eine Abbildung f:X → Y ist genau dann glatt, wenn f¨ur jede offene TeilmengeV ⊆Y und jede glatte Funktion g:V →Rdie Verkn¨upfungg◦f:f−1(V)→Rglatt ist.
Aufgabe 4. Wir betrachten Sn⊆ Rn+1. Sei e± = (0, . . . ,0,±1) und U± := Sn\e±. Diestereographische Projektionφ±:U±→Rnist dann dadurch definiert, dass f¨ur jedes x∈U± die Punktee±,x und (φ±(x),∓1) auf einer Geraden liegen.
(a) Geben Sie φ+ und φ− explizit (in Koordinaten) an.
(b) Zeigen Sie, dass der Kartenwechsel φ−◦φ−1+ auf Rn\ {0} gegeben ist durch die Inversion an 2Sn−1, also
(φ−◦φ−1+ )
y1
... yn
= 4 y21+· · ·+y2n
y1
... yn
.
(c) Folgern Sie, dass{(U+, φ+),(U−, φ−)} ein glatter Atlas f¨urSn ist.
Zusatzaufgabe 5. Zeigen Sie: Jede zusammenh¨angende glatte Mannigfaltigkeit X mit abz¨ahlbarer Fundamentalgruppe hat eine universelle ¨Uberlagerung ˜p: ˜X → X, wobei ˜X eine glatte Mannigfaltigkeit und ˜p glatt ist.
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