Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Prof. Dr. Peter Wole, Dr. Jan Brinkmann 16.06.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre janbritkm.uni-karlsruhe.de /Physikhohh.Zi.10.13
Ubungsblatt Nr. 9 zur Theorie F (Statistishe Physik)
1 Wehselwirkende Spins:
DasIsing-ModellzweierwehselwirkenderSpins1=2aufGitterplatzen1und2imMagnetfeld
B =Be
z
lautet
^
H = J
^
S z
1
^
S z
2
B(
^
S z
1 +
^
S z
2 )
a) Geben Sie dieEigenzustande und -energien von
^
H an.
b) ManberehnediekanonisheZustandssummeZ
K
(T;B)unddieMagnetisierungM(T;B).
Wie verlauftdie Suszeptibilitat (T)= M
B
B=0
fur kT J bzw. kT J?
2 Zustandssumme im klassishen Grenzfall:
Man betrahte ein Gas aus N Teilhen im Volumen V in einem aueren Magnetfeld B.
Berehnen Sie den Eekt von B auf die klassishe kanonishe Zustandssumme Z
K
(T;B).
Wasbedeutet das Ergebnis?
3 Boltzmanngleihung in Relaxationszeitnaherung:
IneinemMetall(VolumenV)bendensihN niht-wehselwirkendeElektronenmitDisper-
sion "(p) = p
2
2m
. Im Gleihgewiht lautet die Verteilungsfunktion f(p;r)j
Gl eihgew:
= f 0
=
[e
("(p) )=kT
+1℄ 1
.WirddasGleihgewihtdurheinzeitunabhangigeselektrishesFeldE,
einen Gradienten von Temperatur rT oder hemishemPotential rgestort, soistf(p;r)
bestimmtdurh p
m r
r
f(p;r) eEr
p
f(p;r)=I ; I = 1
[f(p;r) f 0
℄ .
1= ist dieStreurate der Elektronen durh StorstellenimMetall.
Im Folgenden betrahten wir die Teilhendihte n(r), elektrishe Stromdihte j(r) und die
Warmestromdihtej
Q (r),
n =2 Z
d 3
p
(2h) 3
f(p;r); j= 2e Z
d 3
p
(2h) 3
p
m
f(p;r); j
Q
=2 Z
d 3
p
(2h) 3
p
m
["(p) ℄f(p;r)
a) ZeigenSie, da imGleihgewiht gilt: j 0
(r)=0 ; j 0
Q
(r)=0 ; n 0
(r)=N=V .
b) In Gegenwart auererFelder ist nun f(p;r)=f(p;T(r);(r)).
Bestatigen Sie, da inlinearer Ordnung E, rT, rgilt:
f(p;r)=f 0
+
f 0
"
"="(p) p
m
[ eE r
"(p)
T
rT ℄
) Die elektrishe Leitfahigkeit ist deniert
uber j = E fur rT = r = 0. Wir
betrahten j;Ejje
z
. Berehnen Sie j aus b) in fuhrender Ordnung T , und zeigen Sie,
da =n 0
e 2
=m (Drude-Leitfahigkeit).
d) Die thermishe Leitfahigkeit K folgt aus j
Q
= KrT fur E = r = 0 (naherungs-
weise). Es sei j
Q
;rTjje
z
. Berehnen Sie j
Q
in fuhrender Ordnung T , und zeigen Sie,
da K =
2
3
k
e
2
T (Wiedemann{Franz-Gesetz).
Hinweis:
R
d"A(")
f 0
"
=A()+A 00
()
2
6 (kT)
2
; (T)="
F
+(T 2
)
