Institut f
ur Theorie der Kondensierten Materie
Prof. Dr. Peter Wole, Dr. Jan Brinkmann 09.06.04
http://www.tkm.uni-karlsruhe.de/lehre janbritkm.uni-karlsruhe.de /Physikhohh.Zi.10.13
Ubungsblatt Nr. 8 zur Theorie F (Statistishe Physik)
1 Zeitabhangiger Zustandsoperator:
Der Hamiltonoperator fureinen Spin S =1=2 ineinem Magnetfeld B=(0;0;B) lautet
^
H =B
^
S
z
;
^
S
z
jzi= h
2
jzi ; hzjzi=1 ; hzjzi=0
a) Zur Zeit t=0 seider Spin inx-Rihtung polarisiert,
j (t=0)i=jx+i ;
^
S
x
jxi= h
2 jxi
Geben Sie den Zustandsoperator
^
W(t=0)an, in der Basis fjxig sowie infjzig.
Was istdie Entropie zur Zeit t=0? WieintepretierenSie das Ergebnis?
b) Berehnen Sie mit Hilfe des Zeitentwiklers
^
U(t) = exp ( i
h
^
Ht) den zeitabhangigen
Zustandsoperator
^
W(t), und damit h
^
S
x i(t), h
^
S
y
i(t) und h
^
S
z i(t).
2 Thermishe Ausdehnung eines Molekuls, Storungsrehnung:
Einzweiatomiges Molekul,dasineinemKritalleingebettetist,besitztnurnohdenShwin-
gungsfreiheitsgrad. Das Bindungspotential der Atome enthalt einen anharmonishen Term
x^ 3
, der Hamitonoperator lautet
^
H =
^
H
0 +
^
V ;
^
H
0
=
^ p 2
2m +
1
2 m!
2
0
^ x 2
;
^
V =x^ 3
;
^
H
0
jni=E
n
jni ; hnjn 0
i=Æ
n;n 0
Das Kristall wirktals Warmebad mitTemperatur T (kanonishe Gesamtheit).
a) Berehnen SieZustandssumme Z
0
und freie Energie F
0
des ungestorten Systems
^
H
0 .
BestimmenSie dieKorrekturF
1
zur freien Energie in1. Ordnung Storungstheorie.
F =F
0 +F
1 +F
2
+:::, F
1
=h
^
Vi
0
=Tr(
^
W
0
^
V),
^
W
0
= 1
Z
0 e
^
H0
, = 1
kT .
Hinweis: x^= q
h
2m!
0 ( ^a+^a
y
).
b) In 1.Ordnung Storungstheorieist einthermisher Mittelwert gegeben durh
Tr (
^
W
^
A)=Tr(
^
W
0
^
A)+Tr(
^
W
1
^
A);
^
W
1
=
^
W
0 Z
0 d [
^
V
h
^
Vi
0
℄;
^
V
=e
^
H0
^
Ve
^
H0
Gesuht istdiemittlereAusdehnung h^xi=Tr(
^
Wx)^ des Molekuls in1. Ordnung.
Berehnen SieTr (
^
W
0
^
x ). Zeigen Siedann zunahst, da
Tr (
^
W
1
^ x )=
0
1
Z
0 1
X
n;n 0
=0 hn
0
j
^
Vjnihnj^xjn 0
i e
E
n
E
n E
n 0
1
A
+(komplex konjugiert)
) Gewinnen Siedaraus Tr(
^
W
1
^
x)= onst:
1
Z
0 sinh(
h!
0
2kT )
1
X
n=0
n 2
e h!
0 n
Die Summekann ausgefuhrt werden.
Wie verlaufth^xi fur0T <1 mit<0 qualitativ?
