T = hQ, Σ, I, q 0 , F i

(1)

Mitgeshrieben von Bernhard Weiÿ, Sebastian Goebl und anderen

Mitshrift aus dem WiSe 2008/09

Inhaltsverzeihnis

1 Turingmashinen, Berehenbarkeit, Komplexitätsklassen 1

1.1 Turingmashinen . . . 1

1.2 Zeitkomplexität,Speedup und Hierarhiesatz . . . 3

1.3 Nihtdeterminismus, wihtige Komplexitätsklassen und deren Bezie- hungen . . . 5

2 Die Klassen P und NP 8 2.1 NP-Vollständigkeit . . . 8

2.2 Satz von Ladner. . . 10

2.3 Orakelmashinen . . . 13

2.4 RelativierungenvonP und NP. . . 14

2.5 Die PolynomielleHierarhie . . . 16

3 Platzkomplexität 20 3.1 Grundlegende Denitionen . . . 20

3.2 Platzkomplexitätund Nihtdeterminismus . . . 21

3.3 Ausdrukskraft eines Staks . . . 24

3.4 LOGSPACE-ReduktionenundvollständigeProblemefürPundNLOGSPACE 26 4 Programmiersprahen und Komplexität 31 4.1 Beshränkte Notationsrekursion, Satz vonCobham (1965) . . . 31

4.2 Sihere Rekursion nah Bellantoni-Cook . . . 33

(2)

Inhaltsverzeihnis

(3)

1 Turingmashinen, Berehenbarkeit, Komplexitäts-

klassen

1.1 Turingmashinen

Denition 1

(k-BandTuringmashine)Einek-BandTuringmashineisteinQuintupel

T = hQ, Σ, I, q 0 , F i

wobei

•

^Q^ist ^endlihe ^Menge ^von ^Zuständen

• Σ

îst êine êndlihe ^Menge ^von ^Symbolen

•

Î îst êine ^Menge ^von ^Quintupeln ^der ^Fôrm

(q, s, s ^′ , d, q ^′ )

^wobei

q, q ^′ ∈ Q, s, s ^′ ∈ Σ ^k , d ∈ {L, R, s} ^k

^. ^Für ^alle

q, s

êxistiert ^höhstens êin ^Quintupel ^der ^Fôrm

(q, s, −, −, −)

ⁱⁿ ^der ^Menge ^I

• q ₀ ∈ Q

Anfangszustand

• F ⊆ Q

Endzustände

Beispiel 1

Σ = {0, 1, , #}, k = 2, Q = {q ₀ , q ₁ , q ₂ , q ₃ , q ₄ }

1.

q 0 , ( , ), (#, #), (S, S), q 1

2.

q 0 , (1, ), (1, #), (S, S), q 2

3.

q 0 , (0, ), (0, 0)(R, R), q 3

4.

q 3 , (0, ), (0, 1)(R, R), q 3

5.

q 3 , ( , ), (#, #), (S, S), q 2

6.

q 3 , (1, ), (1, ), (R, L), q 4

7.

q 4 , (1, 1), (1, 1)(R, L), q 4

8.

q 4 , ( , 0), ( , 0), (S, S), q 1

9.

q 4 , (1, 0), (1, 0), (S, S), q 2

10.

q 4 , ( , 1), ( , 1), (S, S), q 2

Denition 2 (Denition (Globaler Zustand, Konguration))

Sei

T = (Q, Σ, I, q 0 , F )

^eine^k-Band^Turingmashine.EinGlobalerZustand(synonym Konguration)vonTisteinTripel

S = (q, w, w ^′ )

^wobei

q ∈ Q, w ∈ (Σ ^∗ ) ^k , w ^′ ∈ (Σ ⁺ ) ^k

(qistderaktuelleZustand,wdasWortvordemShreib/Lesekopfundw'dasWortauf

undnahdemShreib/Lesekopf).Seien

S, S ^′

Kongurationen.Manshreibt

S −→ S ^T ^′

gesprohen

S ^′

^ist ^die^Folgekongurationvon

S

^wenn ^gilt:

S = (q, w, w ^′ ), q / ∈ F

(4)

•

^Sei

w = (w 1 , . . . w k ), w ^′ = (w ₁ ^′ , . . . w _k ^′ ), a i =

^erstes ^Symbol^von

w ^′ _i

Sei

(q, (a 1 , . . . , a k ), (b 1 , . . . b k )(d 1 , . . . d k ), q ^′ ) ∈ I

^Dann

S ^′ = (q ^′ , v, v ^′ ) v = (v 1 , . . . , v k ), v ^′ =

(v ₁ ^′ , . . . , v _k ^′ )

^wobei

v i =



 

 

 

 

w i d i = S

u d i = L, w i = uc ǫ d i = L, w i = ǫ w i b i d i = R

w ^′ _i = a i u, a i ∈ Σ, u ∈ Σ ^∗

v _i ^′ =



 

 

b i u d i = S

cb i u d i = L, c =

^Letztes ^Symbol^von

w i

^bzw

^falls

w i = ǫ u d i = R

Denition 3 (Start-Konguration)

Sei

X ∈ Σ ^∗

^und

^kommt ^niht ⁱⁿ ^x ^vor.^Die Startkonguratin für T auf eingabe x istdeniert deniert als

(q 0 , (ǫ, . . . , ǫ), (x, , . . . )

Denition 4 (Berehnung)

Berehnung von T auf Eingabe x ist eine endlihe oder unendlihe Folge von Kon-

gurationen,

S ₀ , . . . S n

^bzw

S ₀ , S ₁ , . . .

^,^sodass

• S ₀

^ist^dieStartkonguration von Tfür x

• S i

−→ S T _i+1

•

^Fâlls^die^Fôlge êndlih îst^mit^letztemÊlement

S n

^so ^existiert^keine ^F^olgekon-

guration

S ^′

^mit

S n

−→ S T ^′

Denition 5 (Akzeptormashine)

Eine Akzeptormashine ist eine TM Tmit

F = {q A , q R }

(akzeptierender und verwer- vender Zustand) eine Eingabe x wird von solhe einer Mashine akzeptiert, falls die

Berehnung von x aus endlih istund im Zustand

q A

^endet

Bemerkung 1

Die Beispielmashine vonoben akzeptiert alleEingaben der Form

0 ⁿ 1 ⁿ

^.

Denition 6 (Erkannte Sprahe)

Sei T eine Turingmashine

L(T ) := {x| T (x)

| {z }

BerehnungvonTmitStartkonguarationx

hält in Zu-

stand

g A }

^.

L heiÿt akzeptierbar, wenn

L = L(T )

^für ^eine ^Mashine ^T

Bemerkung 2

akzeptierbar =semi-entsheidbar= rekursiv entsheidbar

Denition 7

LwirdvonTMTentshieden,wenn gilt:

x ∈ L ⇒ T (x)

^hälltⁱⁿ^Zustand

g A x / ∈ L ⇒ T (x)

^hält ⁱⁿ ^Zustand

g R

L heiÿt entsheidbar, wenn

∃T

^,^sodass ^L^wird ^von ^T^entshieden

(5)

Bemerkung 3

Wenn keine Verwehslungsgefahr besteht,verwendenwir dieNotation

L(T )

^auh^für

dievon

T

entshiedene Sprahe.

Bemerkung 4

Es gibt Sprahen L, dieakzeptierbar, aber niht entsheidbar sind.

Bemerkung 5

Meist betrahtet man eine Teilmenge

Σ in ⊆ Σ

âls Âlphabet ûnd êrweitert Âkzep-

tierbarkeit und Entsheidbarkeit auf Sprahen

L ⊆ Σ ^∗ _in

^. ^Manhe ^Autoren ^denieren

Turingmashinen alsTupel

(Σ, Σ in , Q, I, q 0 , F )

1.2 Zeitkomplexität, Speedup und Hierarhiesatz

Denition 8 (Zeitkomplexität)

Sei Teine Turingmashine

x ∈ Σ ^∗ TIME T (x) =

^Länge ^der ^Berehnung

T (x)

^, ^unde-

niert falls

T (x)

^niht ^hält.

Bemerkung 6

TIME T : Σ ^∗ → N

^ist ^partielle^F^unktion

|x| :=

^Länge ^von ^x

Satz 1 (Speeduptheorem)

Sei T ein TM, die L entsheidet und

d ∈ N

^Dann ^existiert ^TM

T ^′

^die ^auh ^L ^ent-

sheidet und auÿerdem erfüllt:

TIME T ^′ (x) = ¹ _d TIME T (x) + |x| + 1

Beweis (Idee)

T ^′

^verwendet ^als ^Alphabet

Σ ^′ := Σ ^d

^Berehne ^alle ^Übergänge ^von

einemBlokzumnähstenimvorausundspeiheresieinder(riesigen!)Zustandstafel

I' vonT' ab.

Ziel: Denition von

TIME(f)

^wobei ^f ^eine ^F^unktion

N → N

^,^z.B.

f (n) = n ^e

Denition 9 (Zeitkonstruierbar)

Eine Funktion

f : N → N

^heiÿt zeitkonstruierbar, wenn eine TM Texistiert, diebei Eingabe x hält nah

≤ c · f (|x|)

^Shritten ^für ^ein ^festes

c ∈ N

ûnd âuf êinem ^Band

dieAusgabe

1 ^f ^(|x|)

^liefert⁽

11 . . . 11

| {z }

f(|x|)

^Stük

⁾

Satz 2

f (n) = n, f (n) = n log n

^sind zeitkonstruierbar. Falls f,g zeitkonstruierbar,

k ∈ N

dann auh:

k · f, f + k, f + g, f · g, f ^g , f!, f ◦ g

^. ^Zu ^jeder berehenbaren Funktion

f

existiert eine zeitkonstruierbare Funktion

r

^, ^sodass

f(n) ≤ r(n)

^.

Denition 10

Sei f zeitkonstruierbar.

TIME(f )

îst^deniert âls ^die^Menge âller ^Sprahen ^L ^für ^die

eine TM Texistiert mit

TIME T (n) ≤ x · f (|x|)

^für ^ein

c ∈ N

(6)

Manshreibt

TIME(f(n))

^statt

TIME(f )

^und^auh

TIME(n ² )

^statt

TIME(sq)

^wobei

sq(n) = n ²

Beispiel 2

{0 ⁿ 1 ⁿ |n ≥ 0} ∈ TIME(n)

^'Kürzeste ^Wege'

∈ TIME(n ² )

^'Sudoku ^lösen'

∈ TIME(2 ⁿ ) {0 ⁿ 1 ⁿ |n ≥ 0} ∈ TIME(2 ⁿ )

^ADDITION

∈ TIME(n)

MULTIPLIKATION

∈ TIME(n ² )

Denition 11

P := S

k≥1 TIME(n ^k ) EXP := S

k≥1 TIME(2 ⁿ ^k ) E := S

k≥1 TIME(2 ^kn )

ACHTUNG:

2 ⁵ⁿ ∈ / O(2 ⁿ )

^d.h. ^für^keine ^Konstante ^gilt:

2 ⁵ⁿ < c2 ⁿ

Satz 3 (Zeithierarhiesatz)

Sei f zeitkonstruierbare Fkt. Dann gilt:

TIME(f(n)) ( TIME(n ² f(n) ² )

Beweis Betrahte folgendenAlgorithmus:

Eingabe: TMT /*odiert als 01Folge /*

1 Berehne

N := f(|T |) + |T | + 1

2 SimuliereT(M) für NShritte.

3 Ausgabe:Fallsdiese Berehnung akzeptiert: REJECT sonst: ACCEPT

Setze

L f = {T | T (T )

^akzeptiert ^niht ^nah

f (|T |) + |T | + 1

^Shritten

}

Klar: Der angegebene Algorithmusist einEntsheidungsverfahren für

L f

^.

Sei

T f

^eine Turingmashine, die diesenAlgorithmusimplementiert und insbesondere

L f

entsheidet. Wirzeigen zunähst, dass

L f ∈ / TIME(f(n))

^.

Fallsdoh,sosei

T 0

^eine^Turingmashinedie

L f

êntsheidetûndâuÿerdem

TIME T 0 (x) ≤ cf (|x|)

^. ^Nah ^Speedup ^Theorem ^können ^wir ^oBdA ^annehmen ^dass

TIME T 0 (x) ≤ f (|x|) + |x| + 1

^. ^Es ^gibt ^zwei ^Fälle: ^entweder

T 0 ∈ L f

^oder

T 0 ∈ / L f

^. ^F^alls

T 0 ∈ L f

dann müsste

T 0 (T 0 )

^nah

≤ f (|T ₀ |) + |T | + 1

^Shritten ^verwerfen ^(also insbesondere überhaupt verwerfen). Dannaber wäre

T 0 ∈ / L f

^, ^weil

T 0

^die ^Sprahe

L f

^entsheidet

Falls

T 0 ∈ / L f

^dann ^müsste

T 0

^dieÊingabe^verwerfen, ûnd âufgrund^der Ânnahmeân

TIME T 0

^müsste ^dies^nah^spätestens

f (|T ₀ |) + |T ₀ | + 1

^Shritten ^geshehen, ^also^wäre

T 0 ∈ L f

^.

Komplexitätsabshätzung des Algoritmus von oben: 1:

cf (|T |)

^Shritte ^(weil ^f

zeitkonstruierbar) 2: Man muss die k Bänder der eingegeben Mashine T auf einem

Band speihern (durh Hintereinandershreiben), da man niht inputabhängig neue

Bänder anfordern kann. Auÿerdem muss das Alphabet der Mashine T mit festem

Alphabetodiertwerden,damannihtinputabhängigneueArbeitssymboleanfordern

kann. Ein Arbeitsband von T enthält hoehstens

f (|T |) + |T | + 1

^Symbole. ^Da

f

zeitkonstruierbar ist,gilt

f (n) ≥ n

^, ^also

f (|T |) + |T | + 1 = O(f (|T |)

^.^Die ^Kodierung

(7)

einer globalen Konguration erfordert somit

O(|T | ² · f(|T |))

^Symbole, ^wenn ^man

beahtet, dass sowohl dieZahl der Bänder von T, alsauh dieAlphabetgröÿevon

T

durh

|T |

^beshränkt ^sind.

Um einen Shritt zu simulieren,muss man auf dieser langen Codierunghin- und

her navigieren, sodass sih einAufwand von

O(|T | ² · f (|T |))

^ergibt.^Da ^nun

f(|T |) +

|T | + 1

^Shritte ^zu ^simulieren^sind, ^kann ^der Gesamtaufwand durh

O(|T | ² · f (|T |) ² )

beshränkt werden.

Korollar 4

P ( EXP

Beweis

P ⊆ TIME(2 ⁿ )

^weil

2 ⁿ

^shneller^wähst ^als ^jedes ^Polynom.

TIME(2 ⁿ ) ( TIME(n ² · (2 ⁿ ) ² )

^wegen Zeithierarhiesatz.

TIME(n ² · (2 ⁿ ) ² ) ⊆ EXP

Satz 5 (GAP-Theorem)

EsexistierteineberehenbareFunktion

f : N → N

^T',^sodass

TIME(f (n)) = TIME(2 ^f ⁽ⁿ⁾ )

^.

Allerdings ist f niht zeitkonstruierbar.

1.3 Nihtdeterminismus, wihtige Komplexitätsklassen undde-

ren Beziehungen

Denition 12 (Nihtdeterministishe Turingmashine)

WiedeterministisheTuringmashineaber

I

^beliebig

(I ⊆ Q × Σ× Σ × Q × {S, L, R})

Zu gegebenem

q

^,

a

^kann ^es ^mehrere ^Quintupel ⁱⁿ

I

^der ^F^orm

(q, a, −, −, −)

^geben.

Zueiner Eingabe

x ∈ Σ ^∗

^deniert ^man ^den Berehnungsbaum wie folgt:

•

^Der ^Binärbaumîst êndlih ^verzweigt âber mögliherweise unendlih.

•

^Die ^W^urzel ^ist ^mit^der Startkongurationvon

T

^auf

x

beshriftet.

•

^Ist ^ein^Knoten ^mitKonguration

S

^beshriftet ^und ^sind

S 1 , ..., S n

^die^Nahfol-

gekongurationen von

S

^,^so^hat ^der ^Knoten

n

^Kinder^die^mit^diesen^beshriftet

werden.

Denition 13

Eine nihtdeterministishe Turingmashine

T

âkzeptiertêin^Wôrt

x ∈ Σ ^∗

^wenn ^es ^im

Berehnungsbaum von

T

^auf

x

êinenÂst^gibt, ^der ^mitêinerakzeptierenden Endkon- guration endet und auÿerdem alle Äste endlih sind. Ein Wort

x

^wird ^verworfen,

wennesnihtakzeptiertwird,d.h.esgibteinenunendlihenAstoderalleÄsteenden

in einerverwerfenden Konguration.

Bemerkung 7

AlleNihtdeterministishenTuringmashinendiewirbetrahten, habenendl.Bereh-

(8)

Denition 14 (

NTIME

⁾

Sei

T

Nihtdeterministishe Turingmashine

x ∈ Σ ^∗ NTIME T (x) =

(

Länge des kürzesten akzeptierenden Astes, fallsexistent

Länge des kürzesten Astes überhaupt, sonst

Bemerkung 8

Meist sind Nihtdeterministishe Turingmashinen so gebaut, dass alle Äste gleih

lang sind.

Denition 15 (

NTIME( f ( n ))

⁾

Sei

f

zeitkonstruierbar.

NTIME(f (n)) = {L |

^es ^existiert Nihtdeterministishe Tu- ringmashine

T

^,

c > 0 : ∀x

^.

x ∈ L ⇔ T

^akzeptiert

x

^und

NTIME T (x) ≤ c · f(|x|)}

Denition 16 (

P

^,

NP

^,

E

^,

EXP

^,

NEXP

^,

NE

⁾

P = S

k≥0 TIME(n ^k )

^/* polynomielleLaufzeit */

NP = S

k≥0 NTIME(n ^k )

^/*nihtdeterministish, polynomielleLaufzeit */

E = S

k≥0 TIME(2 ^kn ) NE = S

k≥0 NTIME(2 ^kn ) EXP = S

k≥0 TIME(2 ⁿ ^k ) NEXP = S

k≥0 NTIME(2 ⁿ ^k )

Bemerkung 9

P =

^'praktishberehenbar'?LässtsiheinGraph

G

^knotenfrei^im

R ³

^zeihnen?^Dieses

Problemist in

P

^aber ^kein Algorithmuskonntebisher konkret angegeben werden.

Satz 6 (Bekannte Beziehungen)

P ⊆ ^† NP

( ∗ ( ∗

E ⊆ ^† NE

( ∗ ( ∗

EXP ⊆ ^† NEXP

*folgt aus Zeithierarhiesätzen

†

^Die ^Ehtheit ^dieser Inklusionsbeziehungen wird vermutet, konnte aber niht gezeigt werden.

Satz 7

NP ⊆ EXP

Beweis Durh systematishe Explorationaller Pfadeim Berehnungsbaum.

Satz 8

P = NP ⇒ E = NE

^(also

E 6= NE ⇒ P 6= NP)

(9)

Beweis (durh padding) Sei

P = NP

^und

L ∈ NE

Deniere

L ^∗

^über

Σ ⊎ {#}

L ^∗ = {w #...#

| {z }

2 ^| ^w ^| −|w|

| w ∈ L}

Wir behaupten:

L ^∗

^istⁱⁿ ^NP:

Eingabe:

w ^′

Prüfe ob

w ^′ = w #...#

| {z }

2 ^| ^w ^| −|w|

Prüfeob

w ∈ L

^/*

w

^aus ^Zerlegung^von

w ^′

^*/^mit^gegebenemnihtdeterministishem Algorithmus.

Zeitbedarfdieses Algorithmus:

O(|w ^′ |)

^für^Zerlegung

NB:

|w| = O(log |w ^′ |)

Zeitbedarffür Test ob

w ∈ L

O(2 ^k·|w| ) = O(2 ^k·O(log(w ^′ ⁾⁾ ) = O(|w ^′ | ^k·O(1) )

^/* polynomiell */

alsoGesamtlaufzeitdes(nihtdeterministishen!)Algorithmus:

O(|w ^′ | ^O(1) )

^alsoⁱⁿ

NP

^.

Nah Annahmegibt es einpolynomiellesdeterministishes Verfahren für

L ^∗

^.^Wir

konstruieren darausein Verfahren in

E

^wie ^folgt:

EINGABE

w ∈ Σ ^∗

Konstruiere

w ^′ = w#...#

Prüfe mitdeterministishpolynomiellemVerfahren ob

w ^′ ∈ L ^∗

Fallsja: Akzeptiere

sonst: Verwirf

Laufzeit dieses Verfahrens:

•

Konstruktion von

w ^′

^:

O(2 ^O(|w|) )

•

^T^est ^ob

w ^′ ∈ L ^∗

^:

O(|w ^′ | ^k ) k

^fest

= O((2 ^|w| ) ^k ) = O((2 ^k·|w| ))

;

Algorithmusläuftin Zeit

O(2 ^O(|w|) )

^also

L ∈ E

^wzbw.

Korollar 9

E 6= NE ⇒ P 6= NP

Slogan Gleihheit von Komplexitätsklassen vererbt sih nah oben; Ungleihheit

vererbt sih nah unten.

(10)

2 Die Klassen P und NP

2.1 NP-Vollständigkeit

Satz 10 (NP als Verikation in polynomieller Zeit)

Wenn

L ∈ NP

^dann ^gibt ^es

R L ∈ P

^und

k ∈ N

^so ^dass

x ∈ L ⇔

^es ^existiert

w

^mit

(x, w) ∈ R L

^und

|w| ≤ |x| ^k

Beweis Deute

w

^als ^'Beweis' ^für

x ∈ L

^. ^Aussage ^des ^Satzes ^ist, ^dass ^für ^Sprahen

in

NP

^immer ^ein Beweisbegri existiert, sodass Korrektheit eines Beweises in poly- nomiellerZeit geprüft werden kann.

Sei

L ∈ NP

^und

NTIME T (x) ≤ |x| ^k

^wobei

T

^eine Nihtdeterministishe Turingma- shine für

L

^ist.

ObdA habeder Berehnungsbaum von

T

^auf

x

^Verzweigungsgrad 2.

R L = {(x, w) | w ∈ {0, 1} ^∗

^, ^der ^durh

w

ausgewiesene Zweig im Berehnungsbaum von

T

^auf

x

^akzeptiert

}

Klar ist

R L ∈ P

^(nihtdet. Entsheidung werden ja gemäÿ

w

vorgenommen) Falls

x ∈ L

^so ^wähle ^einen akzeptierenden Pfad der Länge

≤ |x| ^k

^. ^Setze ^für

w

^das

entsprehende Wortaus

0, 1 ^∗

^. ^Es^gilt

(x, w) ∈ R L

^und

|w| ≤ |x| ^k

^.

Falls

(x, w) ∈ R L

^und

|w| ≤ |x| ^k

^so ^gilt

x ∈ L

^nah ^Denition ^von

R L

Denition 17 (NP-shwer)

Eine Sprahe

L ⊆ Σ ^∗

^ist^NP-shwer, ^falls^für^jede^Sprahe

L ^′ ∈ NP

^eine ⁱⁿ^polynomi-

eller Zeit berehenbare Funktion

f : Σ ^∗ → Σ ^∗

^existiert,^sodass

x ∈ L ^′ ⇔ f(x) ∈ L

^.

Denition 18 (Transduer)

Ein Transduer (Übersetzer) ist eine deterministishe TM mit zwei ausgezeihneten

Bändern (ein Eingabe- und einAusgabeband). EinTransduer berehnet eine Funk-

tion

f : Σ ^∗ → Σ ^∗

^, ^wenn ^die ^Mashine ^T ^für ^alle ^Eingaben

x ∈ Σ ^∗

^hält ^und ^dann

auf dem Ausgabeband das Wort

f(x)

^steht. ^Man ^sagt ^T^berehnet ^f^. ^DTIME ^wird

analog auh für Transduer deniert.

Denition 19 (FP formal)

f ∈ FP

^gdw.ês êinen ^T^ransduer ^T, ^der ^f ^berehnet, ûnd êsêxistiert êin^Polynom

p

^,

so dass

TIME(T (x)) ≤ p(|x|)

^.

Beispiel 3

f (x) = x ²

^(x ^eine ^Zahl ⁱⁿBinärnotation)

f (x) =

^Tâbelle ^der ^kürzesten ^Wêge ^von êinem Startknoten s in einem gerihteten Graphen G, wobei Gund s durh x odiertsind.

f (x) = 2 ^x

^ist ^niht ⁱⁿ

FP

N.B. Falls

f ∈ FP

^dann ^gilt

|f (x)| ≤ p(|x|)

^für^ein ^festes ^Polynom ^p.

(11)

Denition 20 (SAT Problem)

Gegeben: aussagenlogishe Formel q

Gefragt: Ist q erfüllbar (gibt esBelegung der Variablen,dieq wahrmaht)

Denition 21 (3-COL)

Die Sprahe 3-COL besteht aus allen ungerihtetenGraphen

G = (V, E)

^die^mti^drei

Farben gefärbt werden können, d.h. esexistiert

c : V → {r, g, b}

^sodass:

{v, v ^′ } ∈ E ⇒ c(v) 6= c(v ^′ )

Satz 11

Es gibt eine Funktion

f ∈ F P

^sodass

x ∈

^3-COL

⇔

^f(x)

∈

^SAT

Beweis Sei

x ∈ (V, E)

^Graph

f (x)

^ist ^wie ^folgt^deniert:

Für jeden Knoten

v ∈ V

^, ^für ^jede ^Farbe

c ∈ {r, g, b}

^eine ^Variable

x v,c

^Das ^maht

insgesamt

3 · |v |

^Variablen

Für jeden Knoten v dieFormel

x v,r vx v,b vx v,g

^/*^|v| ^F^ormeln

FürjedenKnotenvdieFormel

¬(x v,r ∧x v,b )∧¬(x v,r x v,g )∧¬(x v,b ∧x v,g )

^/*^|V|^F^ormeln

/*

Für

{v, v ^′ } ∈ E : ¬(x v,r ∧ x v ^′ ,r ) ∧ ¬(x v,g ∧ x v ^′ ,g ) ∧ ¬(x v,b ∧ x v ^′ ,b )

f(x) besteht aus konjunktionall dieser Formeln(

2 · |V | + |E|

^Stük ⁾

f (x)

^erfülbar

⇔x ∈

^3-Col

Man shreibt3-Col

≤ P

^SA^T

Satz 12 (Satz von Cook-Levin)

SATist NP-vollständig D.h. für jede Sprahe

L ∈ NP

^gibt ^es ^eine Übersetzungsfunk- tion

f ∈ F P

^welhe ^Instanzen ^von ^L ^auf aussagenlogishe Formeln abbildet, sodass

x ∈ L ⇔ f(x)

^erfüllb^ar

Beweis (Skizze)

Sei

L ∈

^NP ûnd ^T êine ^NTM ^mit^L ⁼ ^L(T) ûnd

NTIME(T (x)) ≤ p(|x|)

^für ^ein

Polynom p

Wirmüssen eine Funktion f konstruieren, sodass

x ∈ L ⇔ f (x)erf llbar

^. Erinnerung:

x ∈ L ⇔

ⁱⁿBerehnungsbaumvonTaufxeinakzeptierenderPfadexistier,bzw,wenn ausgehendvonder Startkonguration

S 0

^von^Tâuf^x êine^Fôlge ^vonKongurationen

S ₀ → S ₁ . . . → S n

^existiert, ^sodass

S n

akzeptierend ist und

′ → ^′

Übergangsrelation vonT ist

ObdA :

n = p(|x|)

^und ^T^hat ^nur^ein ^Band

f(x) ist jetztwie folgt deniert:

Variablen:

Für alle

t ≤ p(|x|), q ∈ Q

^eine ^V^ariable

zust q,t

^/* ^T ^ist ^zur ^Zeit ^t ^im ^Zustand ^q,

O(p(|x|)) Stük */

Für alle

i ≤ p(|x|), t ≤ p(|x|), a ∈ Σ

^eine ^Variable

sym a,i,t

^/* ^zur ^Zeit ^t ^steht ^an

Position i das Symbola,

O(p(|x|) ² )

^Stük ^*/

Für alle

z, t ≤ p(|x|)

^eine ^Variable

kopf i,t

^/* ^Zur ^Zeit ^t ^ist^der ^Kopf^an ^Position ⁱ ^*/

Formeln welhe ausdrüken, dass die Belegung dieser Variablen einer legalen akzep-

(12)

Z.B.

V

i≤p(|x|) sym x i ,i,0

^Wobei

x = x 0 . . . x m−1

V

i≥|x| sym ,i,0

V

i≥p(|x|,a6=a ^′ ,t≤p(|x|) ¬(sym a,i,t

V sym a ^′ ,i,t )

Für jeden Zustand q und Symbol aZeitpunkt t,Position idieFormel

zust q,t ∧ kopf i,t ∧ symbol a,i,t ⇒ ∨ _(q,a,q ^′ ,a ^′ ,d)∈I zust q ^′ ,t+1 ∧ kopf _i+d,t+1 ∧ sym a ^′ ,i,t+1

. . .

Idee: DieVariablenvon

f (x)

^beshreiben ^F^olgen^von^globalenKongurationen vonT der Länge und Gröÿe

p(|x|)

Die Formeln von

f(x)

beshreiben, dass solh eine Folge akzeptierend ist. Die Kon- junktion dieser Formelnistdann erfüllbar,genau dann,wenn eineakzeptierende Be-

rehnung existiert.

Weite NP-vollständige Probleme:

3-COL, TSP, Hamiltonshe Kreise,

. . .

Denition 22 (NP-Shwer)

EinProblem/Sprahe List NP-shwer wenn

L ^′ ≤ P L

^für ^alle

L ^′ ∈ NP

Denition 23 (NP-vollständig)

Eine Sprahe L istNP-vollständig,wenn

L ∈ NP

^und ^L ^NP ^shwer

Bemerkung 10

KönntemaneinNP-vollständiges ProbleminpolynomiellerZeitlösen,sowäre NP=

P

Levin hat einen Algorithmus angegeben, der zu gegebener erfüllbarer Formel in po-

lynomiellerZeiteine erfüllendeBelegungndet,vorausgesetzt, dass

P = NP

^(Levin-

searh).

2.2 Satz von Ladner

Satz 13 (Satz von Ladner)

Es gibt eine Sprahe

L ∈ NP

^die ^niht NP-vollständig ist und trotzdem niht in P liegt.

Das natürlih unter der Voraussetzung

P 6= NP

^.

Beweis Beginne mitNP-vollständiger Sprahe

L 0

^z.B

L 0 =

^Sat ^wähle

w 0 ∈ / L 0

Ansatz:

L = {x ∈ L 0 | |x| ∈ G}

^für ^noh ^zu bestimmendes

G

^.

f (x) =

( x

^falls

|x| ∈ g w ₀

^falls ^|x|

∈ / G

Es gilt

x ∈ L ↔ f(x) ∈ L 0

Ziel:

1. Wähle

G

^so, ^dass

f ∈ FP

^, ^dazu ^muss

|x| ∈ G

^? ⁱⁿ polynomieller Zeit entsheidbar sein. Dann ist zumindestens

L ∈ NP

^, ^da

L ≤ P L 0

^vermöge ^f ^und

L 0

(13)

2. Wähle G so dass

L 6=

^i-te ^Sprahe ⁱⁿ

¶

^und ^auÿerdem

L 6=

^i-te ^Sprahe ^die

NP-vollständigist.Dies für alle

i ≥ 0

Sei

T 1 , T 2 , T 3 . . .

^eine ^Aufzählung ^von ^Turingmashinen,so, dass

P = {L(T i ) | i ≥ 0}

Auÿerdem soll

i 7→ T i

^berehenbar ^sein.

Idee:

Gegeben:

Deodiere i alsTupel

(T, p)

^wobei ^Têine ^TM îstûnd ^p^Polynom

bei falshem Format setze

T i = 0

^/* ^Default ^Mashine ^*/ ^Setze

T i :=

^Die ^Mashine,

die auf Eingabe

x

^die ^Berehnung ^von

T (x)

^für

p(|x|)

^Shritte ^simuliert ^und ^akzep-

tiert gdw. dieSimulationakzeptiert hat.'

Sei

T ₁ ^′ , T ₂ ^′ , . . .

^eine ^Aufzählung ^von ^Turingmashinen, so dass

NPC = {L|∃i : T _i ^′

^ent-

sheidet

L

^}

Idee: gegeben i:

Deodiere i alsTupel (T,f)

T nihtdet. TMpolynomiellerLaufzeit

f ist FP-Transduer

Konstruiere aus

T, f

^folgendedeterministishe TM

T _i ^′

BeiEingabe

x

^prüfe ^zunähst, ^ob

y ∈

^SA^T

⇐⇒ f(y) ∈ L(T )

^für ^alle

y

^mit

|y| ≤ |x|

^.

(durh Brute-Fore Simulation aller Berehnungspfade). Falls Ja: Akzeptiere, gdw.

x ∈ L(T )

FallsNein: Akzeptiere,gdw.

x ∈

^SAT

Ist

i = (T, f )

^und

L(T )

NP-vollständig vermöge der Reduktion

f

^, ^so ^gilt

L(T _i ^′ ) = L(T )

^. Anderenfalls untersheidet sih

L(T _i ^′ )

^nur ^an ^endlih ^vielen ^Punkten ^von ^SA^T

und ist somitimmerhinNP-vollständig.

Sei nunmehr

L i = L(T i )

^und

L ^′ _i = L(T _i ^′ )

^. ^Es ^ist

P = {L i | i ≥ 0}

^und

NPC = {L ^′ _i | i ≥ 0}

^.^Hier ^ist

NPC

^die^Menge ^der NP-vollständigen Sprahen.

Ziel: Konstruiere

G ⊆ N

^so,^dass

∀iL ^∗ 6= L i

^und

L ^∗ 6= L ^′ _i

NB A,B Mengen:

A 6= B

^falls

A∆B 6= ∅

^wobei

A∆B = A \ B ∪ B \ A

Für jedes

n, i ∈ N

^gibt ^es^ein^Wort ^x ^mit

|x| ≥ n

^so^dass

x ∈ L∆L i

NB

x

^bezeugt, ^dass

L 6= L i

Nah Voraussetzung

P 6= NP

^muss

L∆L i 6= ∅

^sein

(14)

Mehr noh: für jedes

n

^gibt ^es

y ∈ L∆L i

^mit

|y| ≥ n

^, ^denn ^sonst ^würde ^sih

L

nur anendlihvielen Punkten von

L i

untersheiden und wäre damit selbst in

P

^.

Für jedes

i, n ∈ N

^gibt ^es^auÿerdem

y

^mit

|y| ≥ n

^und

y ∈ L ^′ _i

Sonst wäre nämlih

L ^′ _i

^endlih^und ^deshalb ⁱⁿ

P

^. ^Wegen ^der ^Voraussetzung

P 6= NP

kann eine NP-vollständige Sprahe wie

L ^′ _i

^niht ⁱⁿ

P

^sein

Sei nun

r

zeitkonstruierbare funktion

r : N → N

^, ^sodass ^für ^alle

n ∈ N

^sodass ^für

jedes

i ≤ n

^ein ^Wörter

x ∈ L∆L i

^und

y ∈ L ^′ _i

^mit^mit

n ≤ |x|, |y| ≤ r(n)

existieren.

Idee:

Gegeben n:

Simuliere alle

T i , T _i ^′

^mit

i ≤ n

âuf âllen Êingaben ^der ^Längen ^,

n, n + 1, n + 2, . . .

solangebispassendeWörter

x

^und

y

^gefunden^sind.^NahvorhergehenderDiskussion gibt es solhe.

Ausgabe:Rehenzeit dieses ganzenProzesses.

Dahinter stekt dieallgemeine Beobahtung:

Zu jeder berehenbaren Funktion f gibt es eine zeitkonstruierbare Funktion g mit

g(n) ≥ f (n)

Setze nun:

r 0 = 0

r 1 = r(0) + 1 r ₂ = r(r ₁ ) + 1

.

r n+ = r(r n ) + 1

G = {n|r i ≥ n < r i + 1

^wobeiⁱ ^gerade

}

Erinnerung

L ^∗ = {x ∈ L||x| ∈ G}

Behauptung:

L ^∗ ∈ / NPC

Wäre

L ^∗ = L ^′ _i

^für êinî,^dann ^wähle ⁿûngerade, ^sodass

r n ≥ i

Im Bereih

r n . . . r(r n )

^ndet ^sih ^ein

y ∈ L ^′ _i

^Nah ^Denition ^von ^G ^ist ^aber

y / ∈ L ^∗

weil

|y| ∈ / G

Behauptung:

L ^∗ ∈ /

^P:

Wäre

L ^∗ = L i

^für^einⁱ^dann^wähleⁿ^gerade,^sodass

r n ≥ i

^.^Im^Bereih

r n , . . . , r(r n ) = r _n+1 − 1

^ndet ^sih ^ein

x ∈ L i ∆L

^. ^Auf ^diesem ^Bereih ^stimmen

L

^und

L ^∗

^überein.

Also ist

x ∈ L i ∆L ^∗

Es folgt

L i 6= L ^∗

Es bleibt zu zeigen,dass:

{x|x ∈ G} ∈ P

Gegeben: x

Berehne sukzessive

r 0 , r 1 , r 2 , . . .

bisn gefunden istmit

r n ≥ |x| < r n+1

akzeptiere

⇔

ⁿ ^gerade

Die Berehnung eines

r i

^verbrauht ^Zeit

O(r i )

alsonahdem alle

r i ≤ |x|

^sind:

O(|x|)

(15)

Auÿerdem kann n(sehr grob) durh|x| abgeshätzt werden

⇒

Gesamtlaufzeit

O(|x| ² )

Bis heute wurden keine konkreten Sprahen eht zwishen

P

^und

NPC

^gefunden.

Immerhin:

Deniert man

co − NP := {L|L ∈ NP}

Dann ist

NP = co − NP

êinôenes ^Problem ûnd âuh ôb:

P = NP ∩co − NP

Falls

NP 6= co − NP

^,^so ^ist^kein^Problem ⁱⁿ

co − NP

^auh NP-vollständig.

2.3 Orakelmashinen

Denition 24 (Orakelmashine)

Eine (niht)deterministishe Orakelturingmashine ist eine (niht)deterministishe

TM Tmitdrei ausgezeihneten Zuständen

q Q , q Y , q N

Falls

C ⊆ Σ ^∗

^,^so^deniert ^man^die^Berehnung^von^T^auf^Eingabe

x ∈ Σ ^∗

⁽

T ^C (x)

^)wie

folgt:

T ^C (x)

^erfolgt^wie ^'normal'^mit ^der ^folgenden^Ausnahme:

gelangtdieBerehnungindenZustand

q Q

^(query)^so^wird^die^Berehnung ^im^Zustand

q Y

fortgesetzt falls 'Bandinhalt'(des ersten Bandes)

∈ C

und in

q N

fortgesetzt, falls'Bandinhalt'

∈ / C L(T ^C ) = {x|T ^C (x)

^akzeptiert ^}

bzw.

L(T ^C ) = {x

^| ^es ^gibt ^eine akzeptierendeBerehnungsfolge im Baum

T ^C (x)

^}

Denition 25

Sei

C ⊆ Σ ^∗

^Wir^denieren:

P ^C = {L |

ês êxistiert^det. Ôrakêl ^TM

T

^,

L = L ^C (T )

^und ^Polynom

p

^:

dieLänge der Berehnung

T ^C (x)

^ist^durh

p(|x|)

^beshränkt.

}

Bemerkung 11

Falls

L ∈ P

^, ^z.B. ^L⁼ ^Addition,^Mathing,

. . .

so ist

P ^L = P

Begründung:

SimuliereBerehnung

T ^L (x)

^durh eigenständigeBeantwortungder Orakelanfragen.

Bemerkung 12

Lautzeitvon Tbeshränkt durh pund

L ∈ TIME(q)

^für ^Polynom ^q

⇒

^Laufzeit ^der ^Simulation^beshränkt ^durh

p(n) · q( p(n)

|{z}

ShrankeandieLängederAnfrage

)

Bemerkung 13

NP ⊆ P ^SAT

^ist^klar. ^Die ^F^rage,^ob

NP ⊇ P ^SAT

îst êinôenes ^Problem.

Setzt man

T AUT = {φ | φ

allgemeingültig

}

^,^so ^folgt^T^AUT

∈ P ^SAT

^mit^folgender

(16)

Eingabe:q /*q aussagenlogishe Formel */

Frage ob

¬q ∈ SAT

^/* ^Shreibe

¬q

^aufs ^erste ^Band^gege ⁱⁿ

q Q

^*/

Fallsja: REJECT

Fallsnein: ACCEPT

Aber

T AUT ∈ NP

îstêin^bekanntes ôenes ^Problem.

Denition 26

Sei

C ⊆ Σ ^∗

^Wir^denieren:

NP ^C = {L |

êsêxistiert ^nihtdet. Ôrakel ^TM

T

^,

L = L ^C (T )

^und ^Polynom

p

^:

dieLaufzeit der Berehnung

T ^C (x)

^ist ^durh

p(|x|)

^beshränkt.

}

Bemerkung 14

P ^C ⊆ NP ^C

Bemerkung 15

Die Sprahe

{(ϕ, U ) | ϕ

^auss.log. ^F^ormel,

U

^Teilmenge ^der ^Variablen, ^es ^existiert

Belegung

η

^der ^Variablen ⁱⁿ

U

^, ^sodass

ϕ[η]

allgemeingültigist

}

^ist ⁱⁿ

NP ^SAT

^. ^(Rate

Belegung der Variablen in

U

^, ^entsheide ^mit ^SA^T-Orakel, ^ob entstehende Formel allgemeingültigist.)

2.4 Relativierungen von P und NP

Es isteinoenes Problem,obdiese Sprahe in

P ^SAT

^ist.

Satz 14

Es gibt eine Sprahe

C ⊆ Σ ^∗

^, ^sodass

P ^C = NP ^C

Bemerkung 16

Es istunbekannt ob

P ^SAT = NP ^SAT

Beweis

C = {(T, x, 0 ^k ) | T

^ist^det. ^TM ^und

T (x)

^akzeptiert^und ^verbrauht ^höhs-

tens

k

Bandpositionen(zusätzlihzur Eingabe)}

NB: Cistentsheidbar. Esgibt nämlihnur

2 poly(k,|x|)

vielemögliheglobaleKongu-

rationen. Hat die Berehnung nah dieser Zeit niht gehalten, so hält sieüberhaupt

niht mehr und kann abgebrohen werden.

NB: Es istoen ob

C ∈ P P ^C ⊆ NP ^C

^ist^klar.

Es bleibt zu zeigen

NP ^C ⊆ P ^C

Sei

T

^nihtdet. ^Orakel ^TM zeitbeshränkt durh Polynom

p

^. ^Wir konstruieren eine deterministishe polynomialzeitbeshränkteOrakel TM

T ^′

^mit

L(T ^C ) = L(T ^′C )

^und

T ^′

^tätigt^nur^eine ^einzige Orakelanfrageganz am Ende.

(17)

T ^′

^wie ^folgt:

EINGABE: x

Baue eine det. TM

T 0

^, ^die

T ^C (x)

^ohne ^Benutzung ^des ^Orakels^simuliert.^Dies ^durh

systematishe ExplorationallerBerehnungspfadeund Beantwortungaller Orakelan-

fragen durhobenstehende Entsheidunsprozedur

Man kann diese Mashine so konstruieren, dass sie nur

p ^′ (|x|)

^Bandzellen ^anfordert

für einPolynom

p ^′

Frage nun, ob

(T ₀ , x, 0 ^p ^′ ^(|x|) ) ∈ C

Fallsja, akzeptiere

Fallsnein verwerfe.

NB: Laufzeit dieser Mashine ist polynomiell, denn sie setzt sih zusammen aus fol-

gendem: Erzeugung des Codes für

T 0

^, ^Erzeugung ^von

0 ^p ^′ ^(|x|)

^und ^stellen ^der ^Anfrage

an

C

^.

Bemerkung 17

Eine Beweismethode wie z.B. Diagonalisierung, diein Gegenwart vonOrakeln funk-

tioniertkann niht Pvon NP trennen.

Satz 15

Es existiert eine Sprahe

C ⊆ Σ ^∗

^sodass

P ^C 6= NP ^C

Bemerkung 18 (Vorbemerkung zum Beweis)

Ist T eine OTM,

C ⊆ Σ ^∗

^und ^wird ^die ^Anfrage ^y ⁱⁿ ^der ^Berehnung

T ^C (x)

^niht

gestellt, danngilt:

T ^C (x)

^akzeptiert

⇔T ^C\{y} (x)

^akzeptiert

⇔T ^C∪{y} (x)

^akzeptiert

Beweis Sei

T 0 , T 1 , . . .

êineêektiveÂufzählung^vonpolynomialzeitbeshränktenOTM sodass gilt:

1.

P ^C = {L ^C (T i ) | i ≥ 0}

^für ^alle^C

2. Laufzeit von

T _i ^C (x) ≤ |x| ⁱ + i

Übung: Solhe Aufzählung existiert

Wähle

B ⊆ Σ ^∗

ⁱⁿ^noh^zu bestimmender,geeigneter Weise C ={

0 ⁿ

^| ^es^existiert

x ∈ B

^mit^|x| ⁼ ^n}

Es gilt

C ∈ NP ^B

^ganz ^egal ^was

B

âmÊnde îst:

Gegeben

0 ⁿ

^, ^rate

x ∈ Σ ^∗

^mit

|x| = n

^.^F^rage ^dann ^das ^Orakel,^ob

x ∈ B

Wir werden esso einrihten, dass

C 6= L ^B (T i )

^für ^jedes ⁱ ^und ^somit

C / ∈ P ^B B 0 = ∅, n ₀ = 0

Seien

B i

^und

n i

^shon ^deniert. ^Wir ^legen

B _i+1 , n _i+1

^wie ^folgt^fest:

/*Invariante:

B i

^enthält ^kein ^W^ort^der ^Länge

≥ n i

^*/

/*Invariante:

2 ⁿ ⁱ > n ⁱ _i + i − 1

^*/

Rehne

T _i ^B ⁱ (0 ⁿ ⁱ )

^/* ^Dauert

n ⁱ _i + i

^Shritte ^*/

Fallsakzeptiert wird:

B i+1 := B i

^, ^sodass

0 ⁿ ⁱ ∈ / C

Fallszurükgewiesen wird:

Wähle

w

^mit

|w| = n i

^und ^so ^dass

w

ⁱⁿ ^obiger^Berehnung

niht gefragt wurde. Soein

w

^muss ^es^wegen ^der ^W^ahl ^von

n i

^geben.

Setze

B _i+1 := B ∪ {w}

(18)

Wähle

n i+1

^so^dass

• 2 ⁿ ⁱ⁺¹ > n ⁱ⁺¹ _i+1 + i + 1

• n i+1 > n ⁱ _i + i − 1

Setze nun:

B = S

i≥0 B i

^. ^Mit ^dieser^Wahl^von

B

^gilt:

C / ∈ P ^B

^. ^Denn ^wäre

C = L(T _i ^B )

^für ^ein

i ≥ 0

^, ^dann ^betrahten ^wir ^die ^Berehnung

T _i ^B (0 ⁿ ⁱ )

^.^Aufgrund ^derKonstruktion kommthierbeidasselbeErgebnisherauswiebei der Berehnung

T _i ^B ⁱ (0 ⁿ ^I )

^.^Es ^gilt^aber

0 ⁿ ⁱ ∈ L(T _i ^B ⁱ ) ⇔ 0 ⁿ ⁱ ∈ / C

Also ist

C 6= L(T _i ^B )

Halbkonkrete Konstruktion der ersten 3Shritte (

Σ = {0, 1}

^):

Betrahte:

T ₀ ^B ⁰ (ǫ)

^/*

B 0 = 0, n 0 = 0

^*/

Fallsakzeptiert:

B 1 = B 0 = ∅

^hier

ǫ / ∈ C

^(wir ^nehmen ân, ^dass ^dieser ^Fâll êin^tritt)

Fallszurükgewiesen wird:

B 1 = {ǫ}

^hier

ǫ ∈ C n 1

^sodass

2 ⁿ ¹ > n ¹ ₁ + 1

^und

n ⁰ ₀ + 0

n 1 = 2

Betrahte

T ₁ ^B ¹ (00)

^Rehenzeit

2 ¹ + 1 = 3

^Shritte

Annahme. Die Berehnung weise zurük und das Wort11werde nihtangefragt.

B 2 = {11}

n 2

^so ^dss

2 ⁿ ² > n ² ₂ + 2

^und

n 2 > n ¹ ₁ + 1 = 3

z.b:

n ₂ = 5

Betrahte

T ₂ ^B ² (00000)

Rehenzeit: 27 Shritte

Annahme: Die Berehnung weise zurük und frage das Wort

11011

^niht ^an. ^Dann

setzen wir

B 3 = {11, 11011}

n 3

^sodass

2 ⁿ ³ > n ³ ₃ + 3

^und

n 3 > 27

z.B.:

n ₃ = 28

2.5 Die Polynomielle Hierarhie

NP ^SAT

^ist^mehr ^als

NP

^.^Es ^gilt ^sogar

TAUT ∈ P ^SAT ⊆ NP ^SAT

^aber

TAUT

^ist^o-

NP

vollständig.

DieKomplexitätsklasse

NP ^SAT

^wird^mit

Σ ^P ₂

^bezeihnet,^die^Klasse

P ^SAT

^wird^mit

∆ ^P ₂

bezeihnet.

Denition 27 (polynomielle Hierarhie)

Σ ^P ₀ = ∆ ^P ₀ = Π ^P ₀ := P

^/* Polynomialzeit*/

Σ ^P _i+1 = NP ^Σ ^P ⁱ = S

C∈Σ ^P i NP ^C

∆ ^P _i+1 = P ^Σ ^P ⁱ Π ^P _i+1 = co-NP ^Σ ^P ⁱ

Bemerkung 19

Es gilt:

NP = Σ ^P ₁

(19)

co-NP = Π ^P ₁ P ^SAT = P ^NP = ∆ ^P ₂ NP ^SAT = Σ ^P ₂

Oensihtlihgelten folgende Inklusionsbezeihnungen alsHasse Diagramm:

.

∆ ^P ₃

/

\

Π ^P ₂ Σ ^P ₂

\

^/

∆ ^P ₂

/

\

Π ^P ₁ Σ ^P ₁

\

^/

∆ ^P ₁

/

\

Π ^P ₀ Σ ^P ₀

\

^/

∆ ^P ₀

Bemerkung 20 (Notation)

Für

n ∈ N

^shreiben ^wir

∃ n y.ϕ(y)

^für

∃y ∈ Σ ^∗ .|y| ≤ n ∧ ϕ(y)

∀ n y.ϕ(y)

^für

∀y ∈ Σ ^∗ .|y| ≤ n ⇒ ϕ(y)

Satz 16

L ∈ Σ ^P _i

^genau ^dann ^wenn^eine ^Sprahe

A ∈ P

^und ^ein ^Polynom

p

^existiert,^sodass:

x ∈ L ⇔ ∃ _p(|x|) y 1 ∀ _p(|x|) y 2 ∃ _p(|x|) y 3 . . . ∃/∀ _p(|x|) y i (x, y 1 , y 2 , . . . , y i ) ∈ A

Analog gilt

L ∈ Π ^P _i ⇔

^es ^gibt ^Sprahe

A ∈ P

^und ^Polynom

p

^mit

x ∈ L ⇔ ∀ _p(|x|) y 1 ∃ _p(|x|) y 2 . . . (x, y 1 , . . . , y i ) ∈ A

Beweis durh Induktionüber

i

^. ^Wir^führen ^nur^die^Fälle

i = 0, 1, 2

^durh.

i = 0

^Klar

i = 1

^Aussage ^des ^Satzes:

L ∈ Σ ^P ₁

^, ^d.h.

L ∈ NP ⇔

^eine ^Sprahe

A ∈ P

^und ^ein ^Polynom

p

^existiert ^sodass:

x ∈ L ⇔ ∃y ₁ : |y ₁ | ≤ p(|x|) ∧ (x, y 1 ) ∈ A

Dies wurdebereits bewiesen.

i = 2

^:

Aussage des Satzes:

L ∈ Σ ^P ₂

^, ^d.h.

NP ^SAT ⇔

^eine ^Sprahe

A ∈ P

^und ^ein ^Polynom

p

^existieren ^mit:

L = {x | ∃ p(|x|) y 1 .∀ p(|x|) y 2 .(x, y 1 , y 2 ) ∈ A

^}

⇐

^:

Sei

L = {x | ∃ _p(|x|) y ₁ .∀ _p(|x|) y ₂ .(x, y ₁ , y ₂ ) ∈ A

^} ^für^ein

A ∈ P

^und ^Polynom ^p

Wir sollenzeigen

L ∈ NP ^NP

Es gilt

x ∈ L ⇔

(20)

∃ _p(|x|) y 1 .¬ ∃ _p(|x|) y 2 . (x, y 1 , y 2 ) ∈ / A

| {z }

∈P

| {z }

=:B(x,y 1 )∈NP

Oensihtlih:

B ∈ NP

^und

L ∈ NP ^B ⊆ NP ^NP = Σ ^P ₂

⇒

^:

Sei eine Orakelmashine T vorgelegt sodass

L = L(T ^SAT )

^und ^sei

T

^nihtdet ^und

polynomiell zeitbeshränkt. Wir müssen eine Sprahe

A ∈ P

^nden ^sodass

L = {x | ∃ p(|x|) y 1 .∀ p(|x|) y 2 .(x, y 1 , y 2 ) ∈ A

^}

Es gilt

x ∈ L ⇔

êsêxistiert êine ^Fôlge ^von Kongurationen

y

^von

T

^auf ^Eingabe

x

^,

sodass,falls

z = z ₁ z ₂ . . . z k

^dieⁱⁿ

y

^getätigten^und^positivbeantwortetenAnfragenan das

SAT

^Orakel^bezeihnet^und^falls

w = w 1 w 2 . . . w k

^dieⁱⁿ

y 1

^getätigten^und^negativ

beantworteten Anfragen andas

SAT

^Orakel^bezeihnet, ^folgendes ^gilt:

•

^alleRehenshritte in

y 1

^erfolgen ^gemäÿ ^T

•

^alle

z 1 . . . z k ∈ SAT

^/*^das ^ist ^von ^der ^F^orm

∃y ₁ ^′ . . .

^*/

•

^alle

w 1 . . . w l ∈ / SAT

^/* ^das ^ist ^von ^der ^F^orm

∀y ₂ . . .

^*/

Die gewünshte Charakterisierung lässt sih darausablesen.

Beahte: zwei aufeinanderfolgende polynomiell beshränkte Existenzquantoren kön-

nen durheinen einzigenersetzt werden.

Abstrakte Notation

• ϕ, ψ

^bezeihnen ^F^ormeln^(Boolesh)

• |ϕ|, |ψ |

^bezeihnet ^Länge ^der ^F^ormel

• η, η ^′

^bezeihnet ^Belegung ^(odiert)

• η | = ϕ

^: ^Belegung

η

^erfüllt^F^ormel

ϕ

Klar:

{(η, ϕ) | η | = ϕ} ∈ P

SAT = {ϕ | ∃η : η | = ϕ} = {ϕ| ∃η.|η| ≤ |ϕ| ∧ η | = ϕ}

• C, C ^′

^bezeihne Shaltkreise

|C|, |C ^′ |

^deren ^Länge ^bzgl ^fester ^sinnvoller ^Codierung

• C(ϕ)

^bezeihne ^die^Anwendung ^von^C ^auf^(odierung ^von)

ϕ

Klar:

{(C, ϕ) | C(ϕ) = true} ∈ P

Betrahte:

Test-SAT =

{(C, 1 ⁿ ) | C

^hat

n

Eingabedrähte und für alle Formeln

ϕ

^der ^Länge

n

gilt:

C(ϕ) = true ⇔ ϕ ∈ SAT}

Oensihtlihgilt

Test-SAT ∈ Π ^P ₂

^, ^denn

(C, 1 ⁿ ) ∈ Test-SAT ⇔

∀ϕ : |ϕ| ≤ n : (C(ϕ) = true ∨∀η.|η| ≤ n ⇒ η 6| = ϕ) ∧ (C(ϕ) = false ∨∃η.|η| ≤ n ⇒ η | = ϕ)

⇔ ∀ n ϕ∀ n η∃ n η ^′ (C(ϕ) = true ∨η 6| = ϕ) ∧ (C(ϕ) = false ∨η ^′ | = ϕ)

(21)

Lemma 1 (Selbstreduzierbarkeit von SAT)

TEST-SAT ∈ Π ^P ₁

Beweis Betrahte folgendenoensihtlih polynomiellen)Algorithmus:

Eingabe:

(C, ϕ, n)

x 1 , . . . , x n

^die^Variablen^von

ϕ

IF

C(ϕ) = false

^RETURN^'Angeblihunerfüllbar'

ELSE /*

C(ϕ) = true

^*/^wähle

b 1 ∈ {true, false}

^sodass

C(ϕ[x 1 := b 1 ] = true

falls niht existent RETURN 'Widerspruh!'

.

wähle

b k ∈ {true, false}

^sodass

C(ϕ[x 1 := b 1 , . . . , x k := b k ]) = true

falls niht existent RETURN 'Widerspruh!'

IF

[x 1 7→ b 1 , . . . , x k 7→ b k ] | = ϕ

^return 'erfüllbar' ELSE RETURN 'Widerspruh!'

DieserAlgorithmuserfülltfolgende Spezikationen:

• A(C, ϕ, n) =

^'Angeblih unerfüllbar'

⇔C(ϕ) = false

• A(C, ϕ, n) =

'Widerspruh!'

⇒∃ n ψ.¬(C(ψ) = true ⇔ ψ ∈

^SAT

}

• A(C, ϕ, n)

⁼ 'erfüllbar'

⇒ ϕ ∈ SAT

Daraus folgt:

(C, 1 ⁿ ) ∈ TEST-SAT ⇔ ∀ n ϕ

(C(ϕ) = false ∧∀ n η.η 6| = ϕ) ∨ (C(ϕ) = true ∧A(C, ϕ, n) = ^′

^erfüllbar

^′

^).

Das aber istnah Satz 16in

Π ^P ₁

^.

Satz 17 (Karp-Lipton)

Falls ein Polynom p existiert derart dass

∀n.∃C.|C| ≤ p(n). TEST-SAT(C, 1 ⁿ )

^(kurz

:

SAT ∈ P / poly

⁾ ^dann ^folgt:

Σ ^P ₂ = Π ^P ₂

Beweis Wir zeigenzunähst:

Π ^P ₂ ⊆ Σ ^P ₂

^:

Seialso

L ∈ Π ^P ₂

^und

A ∈ P

^und

r

^Polynom ^sodass:

x ∈ L ⇔ ∀ _r(|x|) y∃ _r(|x|) z(x, y, z) ∈ A

Da

SAT NP

-vollständigist,gibt es eine Funktion

f ∈ FP

^sodass:

x ∈ L ⇔ ∀ r(|x|) yf (x, y ) ∈ SAT

^.^Letzteres^ist^aber^äquivalent^zu

∃ p(q(|x|)) C. TEST-SAT(C, 1 ^p(q(|x|)) )∧

C(f(x, y)) = true

Hier ist

q

^so ^gewählt, ^dass

|y| ≤ r(|x|) = |f(x, y)| ≤ g(|x|)

Nahdem

TEST-SAT ∈ Π ^P ₁

^ist ^folgt

L ∈ Σ ^P ₂

Für die umgekehrte Rihtung

Σ ^P ₂ ⊆ Π ^P ₂

argumentieren wir so: Falls

L ∈ Σ ^P ₂

^dann

ist

L ∈ Π ^P ₂

^also^nah^dem ^vorher ^Gezeigten ^ist

L ∈ Σ ^P ₂

^und ^also

L ∈ Π ^P ₂

Aus Satz 16 ergibt sih auhunmittelbar, dass wenn

Σ ^P ₂ = Π ^P ₂

^, ^dann ^auh

Σ ^P _i = Σ ^P ₂

^für ^alle

i ≥ 2

^. ^Man^sagt ^dann:^die^PH ^kollabiert^auf^die ^zweite ^Stufe ^oder ^kürzer:

die PH kollabiert. Der Satz von Karp-Lipton besagt also, dass sofern die PH niht

kollabiert,eskeine polynomiellgroÿen Shaltkreise für

SAT

^gibt.

(22)

3 Platzkomplexität

3.1 Grundlegende Denitionen

Denition 28

Bei platzbeshränkter Berehnung verwendet man Turingmashinen mit mindestens

zwei Bändern.Auf das erste Bandwird die Eingabe geshrieben.

Dieses Banddarf währendder Berehnung niht verwendet werden. Der Platzbedarf

SPACE(T (x))

^der ^Berehnung ^einer ^solhen ^Mashine

T

^auf ^Eingabe

x

^ist ^deniert

alsdie Anzahl der Felder, dieauf den verbleibenden Bändernbenutzt werden.

Denition 29 (Platzkonstruierbare Funktion)

s : N → N

platzkonstruierbar,fallsTM existiert,diebeiEingabe

x

^aufAusgabeband

1 ^s(|x|)

^ausgibt ^und ^dabei^Platz

O(s(|x|))

^verbrauht.

Beispiel 4

n, n ² , 2 ⁿ , log n, n log n

Denition 30

DSPACE(s(n)) = {L | ∃

^DTM

T

^mit

L = L(T )

^und

SPACE(T (x)) = O(s(|x|))}

NSPACE(s(n)) = {L | ∃

^NTM

T

^mit

L = L(T )

^und

SPACE(T (x)) = O(s(|x|))}

Bemerkung 21

Analog zur Zeitkomplexitätgibt esauhfür PlatzkomplexitätHierarhiesätze, diein

etwa besagen:

Mit mehrPlatz lässt sihauh beweisbar mehr berehnen.

Satz 18

DSPACE(s(n)) ⊆ DTIME(2 ^O(s(n)) ) NSPACE(s(n)) ⊆ DTIME(2 ^O(s(n)) )

Beweis Eine

s(n)

-platzbeshränkte TMhat

2 ^O(s(n))

^viele^globale Kongurationen.

In Zeit

DTIME(2 ^O(s(n)) )

^kann ^die^TM ^somit ^simuliert^werden.

Bemerkung 22 (triviale Beobahtung)

DTIME(t(n)) ⊆ DSPACE(t(n))

Satz 19

DTIME(t(n)) ⊆ DSPACE( _log(n) ^t(n) )

t(n)

log n

platzkonstruierbar

t(n)

zeitkonstruierbar

Beweis siehe z.B. Skriptum von Goldreih

Satz 20

Falls

L

^durh

t(n)

zeitkonstruierbareEinbandturingmashineber.werdenkann. so ist

L ∈ DSPACE( p

t(n))

^falls

t(n)

^,

p

t(n)

zeitkonstruierbar sind und

t(n) ≥ n ²

^.

(23)

Beweis siehe z.B. Bovet-Cresenzi

Denition 31 (wihtige Platzklassen)

LOGSPACE

^(auh

L

⁾ ^:

DSPACE(log n) NLOGSPACE

^(auh

NL

⁾ ^:

NSPACE(log n) PSPACE : S

k≥1 DSPACE(n ^k )

Bemerkung 23 (Typishe Probleme in

LOGSPACE

⁾

1. Enthällt einGraph eine bestimmteKonguration?

2. Ist einungerihteter Graph zykelfrei?

3. Addition

4. Multiplikation(shwieriger)

5. Ereihbarkeitim ungerihteten Graphen (shwierig, Satz vonReingold)

Bemerkung 24 (Typishes Probem in NLOGSPACE)

Ereihbarkeitin gerihteten Graphen

RateneinesPfades unterVergessenbisherbesuhter Knoten.MitführeneinesZählers

von

1 . . . n

^Abbruh ^nah ^maximal

n

^Shritten ⁽

n

⁼ ^Zahl ^der ^Knoten)

Bemerkung 25 (Typishe Probleme in PSPACE)

Verallgemeinerte Spiele

n × n

^Shah,^Dame ^et.

Quantizierte Booleshe Formeln

Bemerkung 26

(

2 ^O(log(n) = n ^O(1)

⁾

LOGSPACE ⊆ NLOGSPACE ⊆ P ⊆ PSPACE LOGSPACE ( PSPACE

Eine der drei Inklusionen muss eht sein, da

LOGSPACE

^wegen ^des Platzhierarhie- satzes eht in

PSPACE

^enthalten^ist.

Vonkeiner der drei ist esderzeit bekannt.

3.2 Platzkomplexität und Nihtdeterminismus

Satz 21 (Satz von Savith)

s(n)

platzkonstruierbar

s(n) ≥ log n NSPACE(s(n)) ⊆ DSPACE(s(n) ² )

Beweis Sei

L ∈ NSPACE(s(n))

^und

T

^einenihtdeterministisheTM.mit

L = L(T )

und

SPACE(T (x)) ≤ s(n) n = |x|

Sei

V

^die^Menge^der^globalenKongurationenvonTderenBänderGröÿe

s(n)

^haben.

Deren Zahl ist durh

2 ^c·s(n)

^für ^ein

c

^beshränkt.

Beahte: hier geht dieVoraussetzung

s(n) ≥ log(n)

^ein, ^denn ^der ^Lesezeiger ^auf ^das

Eingabebandverbrauht Platz

log(n)

^.

Setze

N := 2 ^c·s(n)

⁼ ^Anzahl ^dieser^globalen Kongurationen.

(24)

Für

g, g ^′ ∈ V

^shreibe

(g, g ^′ ) ∈ E

^falls

g ^′

^möglihe ^Ein-Shritt ^Folgekonguration in

T

^ist.

Shreibe

s

^für Startkongurationvon

T

^auf

x

Shreibe

t

^für^dieakzeptierendeEndkonguration(oBdAkönnenwir annehmen,dass es genaueine solhe gibt)

Es giltdann

x ∈ L ⇔

^im^Graphen

(V, E)

^ein^Pfad ^von

s

^nah

t

^existiert

DeniererekursiveProzedur

reach(g, g ^′ , i)

^sodass

reach(g, g ^′ , i) = true ⇔

ⁱⁿ

(V, E)

^ein

Pfad von

g

^nah

g ^′

^der ^Länge

≤ 2 ⁱ

^existiert.

reach : V × V × N → bool

Es giltdann:

x ∈ L ⇔ reach(s, t, i) = true

^für

i = c · s(n) reach(g, g ^′ , i) =

if(i = 0)

if(g = g ^′ ∨ (g, g ^′ ) ∈ E) return true

else return false else :

for(g ^′′ ∈ V )

if(reach(g, g ^′′ , i − 1) ∧ reach(g ^′′ , g ^′ , i − 1)) return : true return : false

EinStakframe istgröÿenmäÿig durh

O(s(n))

^beshränkt.

Rekursionstiefe = Stakhöhe

≤ cs(n)

Die gesamte Prozedur lässt sih alsoin Platz

O(s(n) ² )

^auswerten.

Alternativ: funktionaleVersion vonreah:

reach(g, g ^′ , 0) =

( true if g = g ^′ or(g, g ^′ ) ∈ E false sonst

reach(g, g ^′ , i + 1) = checkfrom(g ₀ , g, g ^′ , i) checkfrom(g ^′′ , g, g ^′ , i) =

reach(g, g ^′′ , i) ∧ reach(g ^′′ , g ^′ , i) ∨ checkfrom(next(g ^′′ ), g, g ^′ , i)

^F^alls

g ^′′

^niht^die^letzte

Konguration ist

checkfrom(g ^′′ , g, g ^′ , i) = reach(g, g ^′′ , i) ∧ reach(g ^′′ , g ^′ , i)

^sonst

Hierbeisei

g 0 , next(g 0 ), next(next(g o )), . . .

^eine ^beliebige^Aufzählung ^von ^V.

Auswerten von

reach(s, t, cs(n))

^führt ^auf ^Ausdrüke ^der ^Gröÿe

O(s(n) ² )

Korollar 22

Ereihbarkeit in Graphen

∈ DSPACE((log n) ² ) NLOGSPACE ⊆ DSPACE((log n) ² )

NSPACE(n ^O(1) )

| {z }

=NPSPACE

= PSPACE

Satz 23 (Immerman-Szelepsényi)

Sei

s(n) ≥ log n

platzkonstruierbar.

co-NSPACE(s(n) = NSPACE(s(n))

Hierbei gilt:

co-NSPACE(s(n)) = {L|L ∈ NSPACE(s(n))}

T = hQ, Σ, I, q 0 , F i

T = hQ, Σ, I, q 0 , F i

•

• Σ

•

(q, s, s ′ , d, q ′ )

q, q ′ ∈ Q, s, s ′ ∈ Σ k , d ∈ {L, R, s} k

q, s

(q, s, −, −, −)

• q 0 ∈ Q

• F ⊆ Q

Σ = {0, 1, , #}, k = 2, Q = {q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 }

q 0 , ( , ), (#, #), (S, S), q 1

q 0 , (1, ), (1, #), (S, S), q 2

q 0 , (0, ), (0, 0)(R, R), q 3

q 3 , (0, ), (0, 1)(R, R), q 3

q 3 , ( , ), (#, #), (S, S), q 2

q 3 , (1, ), (1, ), (R, L), q 4

q 4 , (1, 1), (1, 1)(R, L), q 4

q 4 , ( , 0), ( , 0), (S, S), q 1

q 4 , (1, 0), (1, 0), (S, S), q 2

q 4 , ( , 1), ( , 1), (S, S), q 2

T = (Q, Σ, I, q 0 , F )

S = (q, w, w ′ )

q ∈ Q, w ∈ (Σ ∗ ) k , w ′ ∈ (Σ + ) k

S, S ′

S −→ S T ′

S ′

S

S = (q, w, w ′ ), q / ∈ F

•

w = (w 1 , . . . w k ), w ′ = (w 1 ′ , . . . w k ′ ), a i =

w ′ i

(q, (a 1 , . . . , a k ), (b 1 , . . . b k )(d 1 , . . . d k ), q ′ ) ∈ I

S ′ = (q ′ , v, v ′ ) v = (v 1 , . . . , v k ), v ′ =

(v 1 ′ , . . . , v k ′ )

v i =



 

 

 

 

w i d i = S

u d i = L, w i = uc ǫ d i = L, w i = ǫ w i b i d i = R

w ′ i = a i u, a i ∈ Σ, u ∈ Σ ∗

v i ′ =



 

 

b i u d i = S

cb i u d i = L, c =

w i

w i = ǫ u d i = R

X ∈ Σ ∗

(q 0 , (ǫ, . . . , ǫ), (x, , . . . )

S 0 , . . . S n

S 0 , S 1 , . . .

• S 0

• S i

−→ S T i+1

•

S n

S ′

S n

−→ S T ′

F = {q A , q R }

q A

0 n 1 n

L(T ) := {x| T (x)

| {z }

g A }

L = L(T )

x ∈ L ⇒ T (x)

g A x / ∈ L ⇒ T (x)

g R

∃T

L(T )

T

Σ in ⊆ Σ

L ⊆ Σ ∗ in

(q, s, s ^′ , d, q ^′ )

q, q ^′ ∈ Q, s, s ^′ ∈ Σ ^k , d ∈ {L, R, s} ^k

• q ₀ ∈ Q

Σ = {0, 1, , #}, k = 2, Q = {q ₀ , q ₁ , q ₂ , q ₃ , q ₄ }

S = (q, w, w ^′ )

q ∈ Q, w ∈ (Σ ^∗ ) ^k , w ^′ ∈ (Σ ⁺ ) ^k

S, S ^′

S −→ S ^T ^′

S ^′

S = (q, w, w ^′ ), q / ∈ F

w = (w 1 , . . . w k ), w ^′ = (w ₁ ^′ , . . . w _k ^′ ), a i =

w ^′ _i

(q, (a 1 , . . . , a k ), (b 1 , . . . b k )(d 1 , . . . d k ), q ^′ ) ∈ I

S ^′ = (q ^′ , v, v ^′ ) v = (v 1 , . . . , v k ), v ^′ =

(v ₁ ^′ , . . . , v _k ^′ )

w ^′ _i = a i u, a i ∈ Σ, u ∈ Σ ^∗

v _i ^′ =

X ∈ Σ ^∗

S ₀ , . . . S n

S ₀ , S ₁ , . . .

• S ₀

−→ S T _i+1

S ^′

−→ S T ^′

0 ⁿ 1 ⁿ

L ⊆ Σ ^∗ _in

x ∈ Σ ^∗ TIME T (x) =

TIME T : Σ ^∗ → N

T ^′

TIME T ^′ (x) = ¹ _d TIME T (x) + |x| + 1

T ^′

Σ ^′ := Σ ^d

f (n) = n ^e

1 ^f ^(|x|)

k · f, f + k, f + g, f · g, f ^g , f!, f ◦ g

TIME(n ² )

sq(n) = n ²

{0 ⁿ 1 ⁿ |n ≥ 0} ∈ TIME(n)

∈ TIME(n ² )

∈ TIME(2 ⁿ ) {0 ⁿ 1 ⁿ |n ≥ 0} ∈ TIME(2 ⁿ )

∈ TIME(n ² )

k≥1 TIME(n ^k ) EXP := S

k≥1 TIME(2 ⁿ ^k ) E := S

k≥1 TIME(2 ^kn )

2 ⁵ⁿ ∈ / O(2 ⁿ )

2 ⁵ⁿ < c2 ⁿ

TIME(f(n)) ( TIME(n ² f(n) ² )

≤ f (|T ₀ |) + |T | + 1