1 a)
Aus den Maxwell-Gleihungen folgt fur eben Wellen E ? B ? k. E mu also in der
Ebene ?k liegen,die von xwei linear unabhangigen Vektoren e
1
;e
2
aufgespannt wird. Ein Term
E
3 e
3
ware lin.abhangig.
b)
Das komplexe E-Feldlautet jetzt
E= 0
A
Be i'
0 1
A
e i(kz !t)
; ! =k
Linear:
'=0 : ) Re(E)= 0
A
B
0 1
A
os (kz !t)
Fur festes z liegt die Orientierung in der x-y-Ebene fest, lediglih die Amplitude (Lange des
Vektors) oszilliert.
Zirkular:
'=
2
; B =A ) Re (E)=A 0
os (kz !t)
sin(kz !t)
0
1
A
Fur festes z beshreibt ReE einen Kreis mit Radius A in der x-y-Ebene; die Welle gleiht einer
Shraube entlang der z-Ahse.
Elliptish:
'=
2
; B 6=A ) Re (E)=A 0
os(kz !t)
B
A
sin(kz !t)
0
1
A
Aus dem Kreis wird jetzt eine Ellipse mitHalbahsen entlang der x bzw. y-Ahse.
Und alsErganzung: Allgemein:
E
x
= Ae i(kz !t)
! Re(E
x
) = Aos(kz !t)
E = Be
i(kz !t+')
! Re(E ) = Bos (kz !t)os(') Bsin(kz !t)sin(') )
Re (E)= 0
Aos(kz !t)
B[os(kz !t)os(') sin(kz !t)sin(')℄
0
1
A
= 0
Aos(kz !t)
Bos (kz !t+')
0
1
A
Furz =onst: ist dies auh eine Ellipse, mitgedrehten Hauptahsen. Das wird etwas deutliher,
wenn man shreibt
E= 0
Ae
i'=2
Be i'=2
0 1
A
e
i(kz !t+'=2)
NaheinerNeudenitiondesZeitnullpunktesfolgtjetztfurz =onst:eineEllipsewiefur'==2,
die umden Winkel' 0
=(' =2) gedrehtist.NahprufendurhexplizitesAnmultipliziereneiner
Drehmatrix.
2 a)
f(t)=(T jtj) ) e
f(!)= 1
p
2 T
Z
T dte
i!t
= 1
p
2 e
i!T
e +i!T
i!
= r
2
T
sin(!T)
!T
f(t)=os(!
0 t) =
1
2 (e
i!0t
+e i!0t
)
) e
f(!) = 1
p
2 1
2 h
1
Z
1 dte
it(! !
0 )
| {z }
=2Æ(! !
0 )
+ 1
Z
1 dte
it(!+!
0 )
| {z }
=2Æ(!+!
0 )
i
) e
f(!) = r
2
[Æ(! !
0
)+Æ(!+!
0 )℄
f(t)=(t)e t
sin(!
0 t) =
1
2i (e
i!
0 t
e i!
0 t
)e i(i)t
) e
f(!) = 1
2i 1
p
2 h
1
Z
0 dte
it(! !
0 i)
1
Z
0 dte
it(!+!
0 i)
i
) e
f(!) = 1
p
2 1
2
1
!+!
0 i
1
! !
0 i
b)
f(r)=os (qr) ) e
f(k)=
1
3=2
1 h
Z
d 3
re
ir(k+q)
+ Z
d 3
re
ir(k q) i
Z
d 3
re irQ
= 1
Z
1 dxe
ixQx
1
Z
1 dye
iyQy
1
Z
1 dze
izQz
=(2) 3
Æ(Q
x )Æ(Q
y )Æ(Q
z
)(2) 3
Æ(Q)
) e
f(k) =(2) 3=2
1
2
[Æ(k+q)+Æ(k q)℄
f(r)=Æ(R jrj) ) e
f(k) = 1
(2) 3=2
2
Z
0 d'
Z
1
1
d(os) Z
1
0 r
2
dre
ikros()
Æ(R r)
= R
2
p
2 1
Z
1 dxe
ikRx
= R
2
p
2 2
sin(kR )
(kR )
f(r)=g(z)h(x) ) e
f(k) = 1
(2) 3=2
1
Z
1 dxe
ik
x x
h(x) 1
Z
1 dye
ik
y y
1
Z
1 dze
ik
z z
g(z)
= p
2 e
h(k
x )Æ(k
y )eg(k
z )
3 a)
Wenn G bekannt, dann ist
f(t)= 1
Z
1 dt
0
G(t t 0
)h(t 0
)
eine partikulare Losung.Beweis:
[ 2
t
+2
t +!
2
0
℄f(t)= 1
Z
1 dt
0
Æ(t t 0
)h(t 0
)=h(t) p
b)
Fourier-Darstellungen:
G(t t 0
) = 1
p
2 1
Z
1 d!e
i!(t t 0
)
e
G(!)
Æ(t t 0
) = 1
2 1
Z
d!e i!(t t
0
)
Das einsetzen indieDGL furG:
1
p
2 1
Z
1 d!
h
e
G(!) ( 2
t
+2
t +!
2
0 )e
i!(t t 0
)
| {z }
=( ! 2
+2i!+! 2
0 )e
i!(t t 0
) 1
p
2 e
i!(t t 0
) i
=0
) 1
p
2 1
Z
1 d!e
i!(t t 0
) h
( ! 2
+2i!+! 2
0 )
e
G(!) 1
p
2 i
=0
Da t;t 0
beliebig, mudie [:::℄ vershwinden,
) e
G(!)= 1
p
2
1
(!
2
0
! 2
)+2i!
Fur kleine Dampfung werden alle Terme 2
vernahlassigt. Das angegebene e
G ist dann die
entsprehende Naherung fur e
G: Bildendes Hauptnenners liefert
e
G(!)= 1
p
2 1
2!
0
2!
0
! 2
0
(! i) 2
= 1
p
2
1
! 2
0
! 2
+2i!+ 2
Fur 2
!0 entspriht das dem oben abgeleiteten Ausdruk. Der Vorteil der Naherung furkleine
Dampfungist, da dieFourier-Ruktransformation leihter zu berehnen ist.
)
Von 2 wissen wir:
e
f(!)= 1
p
2 1
2
1
!
0
+! i +
1
!
0
!+i
gehortzu f(t)=(t)e t
sin(!
0 t)
Also istzu vermuten, da
G(t t 0
)= 1
!
0
(t t 0
)e (t t
0
)
sin(!
0 [t t
0
℄)
Durhexplizite Berehnung von e
G lat sih leiht uberprufen, da das stimmt.
Randbedingungen:
e
G(1)= e
G( 1)=0 ) p
d)
h(t)=h
0
Æ(t t
0
) ) f(t)=h
0 Z
1
1 dt
0
G(t t 0
)Æ(t 0
t
0 )=h
0
G(t t
0 )
) f(t)= h
0
!
0
(t t
0 )e
(t t0)
sin(!
0 [t t
0
℄)
Dies ist gedampfte Shwingung, diebei t=t einsetzt.
G(t t 0
) istoenbar die Impulsantwort auf einenÆ-Impuls zur Zeit t 0
.
Im Frequenzbereih, allgemein:
Einsetzen der Fourier-Darstellungen fur f(t);G(t t 0
);h(t 0
)in den Ausdruk furf(t) liefert
f(t)= 1
Z
1 dt
0
G(t t 0
)h(t 0
) )
1
p
2 1
Z
1 d!e
i!t h
e
f(!) e
G(!) 1
p
2 1
Z
1 d!
0
e
h(!
0
) 1
Z
1 dt
0
e i!t
0
e i!
0
t 0
| {z }
2Æ(! ! 0
) i
=0
Furallet,
) e
f(!)= p
2 e
G(!) e
h(!)
Das ist naturlihgerade das Faltungstheorem.
Fureine monohromatishe Anregung (shon in 2 berehnet)
h(t)=h
0
os(!t)^ ) e
h(t)= r
2 h
0
[Æ(! !)^ +Æ(!+!)^ ℄
ergibt das
e
f(!)=h
0 [
e
G(^!)Æ(! !)^ + e
G( !)^ Æ(!+!)^ ℄
FurpositiveFrequenzen !;!^ ergibtsih
e
f(!)=h
0
e
G(!)^ Æ(! !)^
D.h., e
Gbeshreibt dieAntwort des Oszillatorsimeingeshwungenen Zustand aufeine bestimmte
Anregungsfrequenz. DadieexterneKraftlinear(in1.Ordnungh(t)) andasSystem ankoppelt,
wird e
G auh lineareAntwortfunktion genannt.
Im Allgemeinen(z.B. auhder Oszillator)ist e
G komplex. Im Zeitbereih ist
f(t)= 1
p
2 Z
1
1 d!e
i!t
e
f(!)= r
2 h
0 e
i^!t
e
G(^!)
Mit e
G(!)=j e
Gje i'
folgt f(t)= r
h
0 j
e
Gje i(^!t+')
also
Ref(t)= r
2 h
0 j
e
Gj os (!t^ +')
Der Betrag von e
G bestimmtalsodieAmplitude,diePhase von e
G diePhasenvershiebung relativ
zur Anregung.
4
e
G(r r 0
;!)= 1
4 e
ikR
R
; R jr r 0
j
Laplae darauf loslassen:
r 2
e
G(r r 0
;!)= 1
4
(r 2
e ikR
) 1
R +e
ikR
(r 2
1
R
)+2(re ikR
)(r 1
R )
Die Einzelteile:
(re ikR
) = (ik)e ikR
(rR )
(r 1
R ) =
1
R 2
(rR )
(r 2
e ikR
) = ( k 2
)e ikR
(rR ) 2
+(ik)e ikR
(r 2
R )
(r 2
1
R
) = 4Æ(r r 0
)
Das einsetzen ergibtzunahst mal
r 2
e
G(r r 0
;!)= 1
4 e
ikR
( k 2
) (rR )
2
R
+(ik) (r
2
R )
R
2(ik) (rR )
2
R 2
4Æ(r r 0
)
Es fehlen nohdie folgendenAusdruke/Teile/Broken:
(rR ) = r p
(r r 0
) 2
= r r
0
jr r 0
j
r r 0
R
) (rR ) 2
= R
2
R 2
=1
(r 2
R ) = r 1
R (r r
0
)= 1
R 2
(rR )(r r 0
)+ 1
R
r(r r 0
)
| {z }
=3
= 3
R 1
R
= 2
R
Die Terme (ik) fallendamit heraus,und shlielih:
r 2
e
G(r r 0
;!)= Æ(r r 0
) k 2
1 e ikR
) p
