Diskrete Struktureu Vorlesung 7
Steffen Reith
8.12.17
Abe Die Zeigt
mantaelnpca
)? @
Auschaulich
: aDomino
-Day
"pcul
± ., derDomino Stein
doNummer n
foilttum
"A a
fiht
UM a G W v a 6 a "0 1 2 3 h htr
Formal :
-
luduhtiousaufaug
( IA ) : Zeige , classplo
)gilt
luduhtionsschrilt ( IS
)
: Zeige, class the INgilt
Weun Plu
) Wahr , damn ouchPC
ntr ) Wahr .Die
Voranssettung pcu
) ueuut man anoh luduhtious - 2voranssettung
k
Bqf
: ,, Summe douugeradeu
uat . Zahleu " Aa 9a a• a a e
D= 1 Jdee :
• • • •
1+3 = 4 • • • a
• • • •
1 + 3 + 5 = g • • • •
the
IN Pan)1 t 3 + 5+7=16
- -
Sat
: Seine In, n > 0
, daun
gilt E"n2i
- 1 =n2Bed 30
(
IA ) h=1 :£
Li÷
-1=1 = 12→ HH
istufiillt
(
Iv ) taeln , a c- ugilt ¥2,2
it = a'(b)
n → nttEE|2i
- t =EI2i
- i + 2ha)
-1"
Wempe # ¥
' n't
Ln + y)
" dana Ponte) "= ( n + 1) 2 #
Programme , does die Summe do
uugeradeu Zahlen
4Summivf
int sum Odds ( int i ) 2
if
( i== O)
thenreturn " error
"
;
if
( i==1 ) thenreturn 1
; K Abbruch d.
Rehursiou
else
return ( Li 1)
- tSum
Oddsli - t)
;eudif
end Sum Odds .
Mathematisch : 5
sum odds : IN → IN ! int sumodds ( int
)
sum odds ( i
)
=/
"1",M£44 falls
in 1falls
i=o|
Li - ttsumodds ( i -1)
, soust⇒ ludnhtiou and Rehuvsiou Sind an kulich
En
winters Beispiel
Sate
Sci M nine eudlicheMenge
, daungilt
#PCM
) =L#M.
Bennis
(
IA) Sei # M=1 , dauugilet
esgeuauzwei Meugea
6in
PCM )
, nnamlich0
and M . Esgilt
2= # PCM)
=L # M =
21
⇒(
IA )gilt
listufillt
.(
w ) Sei # M=n , daungilt
#PCM )
> 2 "ds
) n → utt : Sci M =L an , ... . , an , anti}
einMenge
hit
htt Elemeuteu . Willen nun aie M beliebig
andM ' = Ml
Zai }
, d. h. # M'=n
. Nach(
Iv )gibtes
also 2hTeilmeugeu
von M ', die ouchalleteilmeugen
oou Msind .For jides XEPCM
') gilt
Xuhai)
c- M . Alsogibt
esweitoe
2 "
Teilmengeu
von M. Anderegibtes
uicht .Also #
PLM )
= 2 . # PCM ')¥'
2.2 " =24 ? #
7Been
Wirhabeu bisher nur die Shuehtur(
IA) beweise PCO)
(b)
beweise Fagilt
PCal →plate
)verweudet , man kauu dies
verakgemeineru
(
IA) beweise PCO)(b) beweiseta gilt ( pco
)rp
4) i. . .npca
))
→plate )
Das ludnhtiousprinzip hauuauehfiv Definition
enbeuutat
louden :
6.1 .
kduhtive Definition
enBep
: Dirdefiniveu die Folge ( ailiew
duveh 8(
IA)
a. = 1(b)
anti = An . ( uti)
D. h .
h 0 1 2 3 4 5
an
1 1 2 6 24 120
Sate
Firjedes
new , n > itgilt
an =III
Beweis:_ (A)
n=1 : t.ae =TT
i = 1i = n
⇒
luduhtiousaufaugist ufillt
.u
(
w ) an =IT
i 9[ =r
(
Is) n → uttanti = an . ( uer
)
¥'III ]
.(
her)
LiTi
i=n#
Def
:Die Menge Lah
doaussageulogischeu ist Formelu
wie
folgt defiuivt
:(IA ) Jede
Aussageu
variable xnxy . . . .ist
lineanssageulogische For
me I(b)
SeieuHe
, Hz ELau
, dauu ouch@
(
He rHz )
,(
Hiv Hc)
,(
He → He)
, (
Had Hz )
,(
He @Hz )
, 7He ELAL
Nichts soust
istaussageulogische
Formal .By
:( (
x. vxz)
→ x.5×3
C-Tain
LAL( ! ?xnvxzXZELAL )
Tae?!LAL ⇒]T}↳
← hi ? Ta : ,]a
!Def
: SciHelm
, dann@
# (
(
H) = a Auzahl d ."
offueuden
Klammer n von H "# ,
(
H)
= ,, dAuzahl
. schliesseudeu klammeuuvon H "
Bsp_
: SciH
=( (
xvy)
^7z)
, dauu # ((
H)
= 2 =#
, IH)
.In der
luformatik
neuut man line eudliche Menge ZAlphabet
had ihre Element Buchstaben 2- * ist dam dieMenge alla Water