Vorlesuug 3

(1)

Diskrete Mathematic

Vorlesuug ³

Steffen ^Reith

8.11.17

(2)

• Ein

Algebra

^by ⁼

⁽

^G ^, ²⁰ ^, ^, ^e

^} )

^van

_Typ

^{( 2.} ^1,0

⁾

heipt _Gruppe

, weuu ( _G _, to _, e }

)

^ein ^Mouoid ^ist

und

tge

^G

_gilt _goj

^' ^-

gtog

^=e

Dabei wind

j

^' âls înverses Êlement ⁽ ^von

g) ^bezeichuet

^.

cgittzusaklich

tt a. be _G

gilt

^aob ⁼ ^boa ^, ^daun

heipt ^G ^kommutativ

^oder ^abelsch

⁽

^uaeh ^Niels ^Abel

⁾

^.

. Eine

Algebra ⁽

^V ^,

K

^,

^↳ } ⁾

^von

Typ

⁽ ^2,2

⁾ ^heipt

Verbaud_ ⁽ english

^: ^Lattice

)

_, ^weuu ^die

_folgeudeu lykichungeu

finale xiyizev upilltsind

^:

(3)

•

xug

⁼

^yux

²

•

xny

^a

ynx }

kommutativita ^'t

• xn (

ynz

⁾ ⁼

^{( xny} ⁾

^nz

• xu (

yuz ⁾

⁼ ⁽

xwy ⁾

^uz

} Assoziativitaat

° Xu × ^=×

} ^Idempotent

^s

• × n × ⁼ ^X

X

. xn

( xwy ⁾

⁼ ^x

• × ^u

( xny ⁾

⁼ ^×

) ^Absorption

Der Verb ^and

(

L _,

2mW } ) _heipt disher

_, ^weuu

° × n

( yuz )

⁼

⁽ xny )

^u

(

^xnz

⁾

. x w ( _y ^nz

)

⁼

( _xuy )

n

(

^xuz

)

(4)

3.2 . Mouoide

Oft vereiufaeht

^man ^die ^Notation ^do

Algebra

^and

schreibt _stall ( ^A _, ^{fe, ^... ,

fr

^}

)

^auoh ⁽ ^A ^,

_fr

^, ^... ,

fr

⁾ ^. ^Weituhin

feihrt

^man ^O ^-

stellige Operator

^en ^must ^uicht ⁱⁿ ^der ^List ^do

-

Operation

^eu

auf

^.

Konstantin

Def ⁽

^Mouoid

⁾

^:

^Die ^Algebra

⁽ ^M ^, ^o⁾

^heipt ^Mouoid

^,

^falls

-

t

^a

,b

^EM

gilt

âo ^{( boc )} ⁼ ⁽ âob ⁾ ôc

( Assoziativitat )

- es

gibt

^ein ^ee ^M ^, ^so ^class

faiake

^aem

gilt

âoe ⁼ êoa ⁼ â

(5)

4

Ein ^Mouoid M _height kommutaku oder

abelsch

( ^uach ^Niels

Abel )

_, ^weun ^zusoiklich

f.

^a ^.

gilt

t.TO

⇒

aob ^-

boa

•

,

^.

By Oft

^schreibt ^man ^die

Verkuipfung

^I

multiplihativ

⁽ ^btw ^additiv

⁾

^, ^{d. h} ^.

M_SyutaxF@kaobwirdZua.b

( ^bzo atb

)

^.

FVTX

, mm ^, ^and ^, ^or ^,

→ not

, min _,

(

Poteuzgesekfiw Sat

^Mouoide

⁾

^max

Seieu

h.me ^IN ^\ ²⁰} _, daun

gilt

ⁱⁿ

multiplicative Schveibwiise

(

^a ^"

)

^" ⁼ ^an ^'m and an ^. an ⁼ antm

Fio

kommutative ^Mouoid

gilt

⁽ ^a. ^b) ^" ⁼ ^a ^" ^.b ^"

(6)

3¥

^:

_Diy

^#

D¥

^: ^Seicu

⁽

^Me^,

⁹⁾

^and ⁽^Mz^,

^a)

^Mouoid ^hit ^den ^neutraku

Elemeuteu _en EM _, law ezemz ^.

Daun _height

^line

Abbilduug _z

^:

^Mr

^→

^Mz Mouoidkomomorphismos

weun

g. (

^a on b) ⁼

zl ^a) ozzlb

⁾ ,

fir

^ate ^a

^,b£M

^, ^und

zlee

⁾ ⁼ ^ez

gilt

^. ^Test

zbijehtiv

^, ^dawn

heiptz

^ouch

Mouoid=

isomorphism

.

(7)

•

( Zit ⁾

, ( _a _,t ) _,

#

it

)

^und ( ¹ it ) in

(

IH_, ⁺ ) ⁶

Sind hommutative Mouoide

. Sci

X×=ay hf _If

^:X ^→ ^X

^}

^, ^X ^#

⁴

^, ^dauu ^ist ^X×

unit do

kompositiouuou

^Fhteu ^ein ^Mouoid ^.

° Sci ( M _, ^.

)

^ein ^Mouoid ^and

^MM

⁼ _def

^{

_y ^/ _z ^: ^M ^→ ^M ^and

gist

^liu

Mouoidhomomorphismus }

_, ^dauu ^ist ^MM ^unit ^d ^.

kompositiou

^uou ^Fhteu ^Wieder ^ein ^Mouoid

• Sci Z ein bet ^. ( ^eudliches )

Alphabet

^,

daunokfinioeu

wir

Z*=ug2w

^I ^wist ^ein ^Wort ^ciber ^Z

^}

^. ^Seicu

We ⁼ _an _oazo ... ° an EZ ^* und

wzebno

bzo ^. ^. ^. ^• bm Ê Ê*_, dauu 6^0 _Wz ⁼ deg Âeoazo ^... ⁰ auobnobzo . ... o bin

( foucat

^"

⁾

(8)

Dauuist ( Z*

, o) ^ein Mouoid unit dem ueutraleu Element

E ( _a lures Wort ^") ^.

Das Mouoid ( Z* _, ^.

)

^bird ^ouch

freies

^Mouoid ^iibu ^Z

geuauut

^.

Bsp_

^: ^sci

^Le

^It ^line

^belicbige

⁽

for

^male

⁾ Sprake

^, ^dauu

defiuieeu

^win ^die

folgeude

^Relation ^a ^:

Seieu

xiye

^It ^, ^dawn

gilt ^xriy ^gdw ^fir

^alle

zeZ*

gilt

xzelgduyzel

µgµ¥¥lE¥P

Die ^Relation

^nu

^ist

^line ^'^A

quivaleut

^- zusammeu

relation

^. ( DM

) f

fasseulagleich

"

Vorlesuug 3

Diskrete Mathematic

Vorlesuug 3

Steffen Reith

8.11.17

Algebra

(

} )

Typ

)

heipt Gruppe

)

tge

gilt goj

gtog

j

g) bezeichuet

cgittzusaklich

gilt

heipt G kommutativ

(

)

Algebra (

K

↳ } )

Typ

) heipt

Verbaud_ ( english

)

folgeudeu lykichungeu

finale xiyizev upilltsind

xug

yux

xny

ynx }

ynz

( xny )

yuz )

xwy )

} Assoziativitaat

} Idempotent

( xwy )

( xny )

) Absorption

(

2mW } ) heipt disher

( yuz )

( xny )

(

)

)

( xuy )

(

)

Oft vereiufaeht

Algebra

fr

)

fr

fr

feihrt

stellige Operator

Operation

auf

Def (

)

Die Algebra

heipt Mouoid

falls

t

,b

gilt

( Assoziativitat )

gibt

faiake

gilt

abelsch

Abel )

f.

gilt

Vorlesuug ³

Steffen ^Reith

⁽

^} )

_Typ

⁾

heipt _Gruppe

_gilt _goj

g) ^bezeichuet

heipt ^G ^kommutativ

⁽

⁾

Algebra ⁽

^↳ } ⁾

⁾ ^heipt

Verbaud_ ⁽ english

_folgeudeu lykichungeu

^yux

^{( xny} ⁾

yuz ⁾

xwy ⁾

} ^Idempotent

( xwy ⁾

( xny ⁾

) ^Absorption

2mW } ) _heipt disher

⁽ xny )

⁾

( _xuy )

_fr

Def ⁽

⁾

^Die ^Algebra

^heipt ^Mouoid

^falls

^.

⁾

⁾

_Diy

⁽

⁹⁾

^a)

Daun _height

Abbilduug _z

^Mr

^Mz Mouoidkomomorphismos

zl ^a) ozzlb

^,b£M

( Zit ⁾

X×=ay hf _If

^}

⁴

^MM

^{

^}

⁾

^Le

^belicbige

⁾ Sprake