Vorlesuug 6

(1)

Diskrek

Mathematic Vorlesuug

⁶

Steffen Reith 24.5.18

(2)

1

iii , ergibt ^sick ^cans ⁱⁱ , wit mehrfacher Auweudung

iv , Sein Lin_, ^... _{.ir ) esn} _, ^dauu

ugibt

^side

C in ^... , in ^" f.

ijjjiru

Sm Sm ^,

⁾

^, ^wobei

Union

s(k)=dy {

^ktt¹ ^, ^falls^soust ^k€r ^. ^e

und _Sm

#

=def ^{So So}

#

_÷^. ^. ^. ^os

met

lin _, ^... _.ir

)

^"=

I

_in ^... _,

_irl

^"=

( iisijiiyniitsr

^. .ir ^,

)=linirn

^... , In

)

(3)

Y ^Da I

link

^. ^, ^irlt ^Tlin ^, ^... ^,

^ijltttllij

^, ^... ^, ^ir ⁾ ^It

fir

² ^£ ^jet ^- ^t ^reicht ^es ^die Aussagefiv Transposition^en

zuzeigeu^.

Sei ( i if⁾ ^esn ^line Transposition ^and ^Tesu ^, ^daua

(

Tliij

^{) It )} ⁽ ^m⁾ ⁼ ^' ^falls

¢ Ttcmlcftijg

Htil _, falls ^Itn ⁾ ^- j

Tkj

⁾ _, _falls ^IT ^'Cm)=i

m , falls ^Ilil ^¥ Icj ⁾ ⁺ ^m

=

initials ?¥is ⇐ :

⇒

( _Ici ) _, Icj ⁾

)

⁼ ^Ili _,jlT ^' ^' #

(4)

Folgeruug^: ^Iede Permutation ^IT ist does Produht _von

3

Transposition

^eu

Def

ⁱ ^Eu Permutation heiptgerade ^, ^we ^.nu ^sic ^als ^Produht

liner geradeu Anzahl ^won Transposition^eu darstellbarist ^.

An ⁼ ought êsnl ÎT îst ^gwade ^} ând ^# Ân ⁼ ^{# Su} ¹²

Def

^: ^Sei G= ⁽ ^G^, â) ^line _Gruppe ând UEG . Daun ist ⁽ Û_, ^. ) êine Uutugruppe_ ⁽ ôou G) ^gdw

f.

â ^. â. ^be Û

gilt

â. ^be Û ând

finale

^a ^EU

ist a

' ' EU .

(5)

Bsf

^: ^. ^Sui ^lik ^, ^dauu ^ist

^lZ=aylgeZ

^I

^llg

^}

= Lge ^ZI

gist

^ein Vielfaohesooul^} ^ein

Uutugroppe ^von ⁽ ^Z ^, ^t )

• ( Z _,t ) ^ist ^ein _Uutugruppe ^von ⁽ Q _, ^t)

-11 ^- ( Rit ⁾

o

0 0 1 ^a b

1 ^ ^° b _a

isteinecyruppe

09¥

^line

a ^a b o 1

b b a ^ ° Uutogruppe

÷

usche ^Vierer ^-

gruppe ^{( Felix} ^Klein ^, ¹⁸⁴⁹ ^. ¹⁸²⁵)

(6)

5

Demi ^Sei _Cg= ⁽ ^G _, ^. ⁾ ^line _Gruppe ând Û= ⁽ Û ,

. )

line Uutugruppe ^von ^by ^, ^daun ^Schreiber ^heir ^hurt UEG .

Sak (Cayley⁾ ^: Jedeeudliche _cgruppe do

Orduungu ^is ^'t

iso morph ^zu ^einv Uutugruppe ^do ^Su ^.

1 eweis ^: sci _by ⁼ ( ^G_, ^.₎ line bet ^. eudliche Groppe ^unit

dem neutral ^en ^Element e and do Orduuug ^nz ^# ^G ^,

Dir defiuiveu ^ein ^Families ^von ^Funhtioueu

Ta ^: G ^→ G ^hit Ta ⁽^×) ⁼ ^ax

(7)

Fahtl ^: Tede Abbildung ^Ta ^ist

bijehtiv

^and ^total

Faht 2 ^: Die Algebra IT G=dy

(

^{2Ta1aeG }} , ^°

)

^ist ^line

Gruppe

Dir defiuiveu z ^: ^G ^→ ^TTG ^durch

zca

⁾ ⁼ ^Ta ^. ^Nach

Definition ît _z _sorjehtiv ând ^total ^, ^Within îst _z

injehtiv ^, ^deuu ^weuu yeah

q(

^b) ^, ^dauu

gilt

^Ta ⁼ ^Tb ^, ^{d. h} ^.

ax ⁼ bx and damit aab .

Deituhin

gilt z(

â. ^b) ⁼ ^Tab ⁽ ^x⁾ ^=(ab⁾ ^x ⁼ â. ⁽^b^. ^x⁾ ⁼ â. Îbcx ⁾

= Tallis ^C^x⁾) ^a Ia ^• Tb ⁼

y(

^a) ^• q⁽ ^b

)

(8)

Also

gilt

GETlG.IGbestehtmurausPermutatioueu@liuou-elemeutigeuMeugeid.h

. IGESCG ) ^E Sn ^und damit ist ^G isomorph ^zueiw Uutogruppe ^do ^Su ^. #