Diskrek Mathematic Vorlesuug 9
Steffen Reith
21.6.18
@
Deft
: sineAlgebra
F=CF , t , .) heipt koirper
(eug. Field)
,weuu
is LF , + , . ) ein
Ring
is 't undii ,
(
Fl 20 } ,.it#iueabe1scheGgruppeist
.Bsf
: .( a
,t , .)
, (R
,t , .)
,Cat
, .)
SindKarper
4.1 .
Resthlasseuringe
Dissen
: In ist 'Aquivaleuz
relation , d. h.7L
windTin
A'
quivaleuzhlasseu partition
'ut .In e 2×2
Def
: Sci me IN , mx2 , daun@
• [ a
]±m
+0Eb ]=u =def
[ a +bI±m
•
[
a]±mO[↳]±m =dy
[ a. b]=m
Sake Die Verkuipfuugeu auf
deu 'Aquivaleuzhlasseu
von±m
(
±Resthlasseu )
Sindwohldefiuivtuudrepraseutauteuuuabhcingig
, d. h .
Sir me IN
,mx2
und a. a ', b ,b'
EZ .Daun folgt
aus a± a
' modem
and
b .=b ' modem direht[ a + b
]±m= [
a' + b']±m
and[
b]±u=[ a.
a' . b']=u
•Bewu
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.
. . . . -
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WeuuZm
= deg { [ a]±m
I OE a < in}
, daunist
( In
,t , .)
ein kommutativwRing
hit
Eius
.Bend
. State [ a]=n
schreibt man a andstall
+0
(
law . 0) einfaoh
+( bae
. •)
. In do Literature schreibt man
stall Zm oft
21mL
4.2 .
Der griptegemeiusame
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: Seien a,b
EZ unitlaltlbl
FO , dauuheipt
diegropte
Zabelget
witgla
uud_glb
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lschreibweise
:ggtla
,b) =g )
Weitohin
seiggT( 0,0 )
= 0Zuni
Zahleu
a,b keipeu teilerfoemd ( coprim
,relativ
prim )
weuuggT(
a.b)
=1 .sake ( Reoheuregelufivdeuggt ) tier
ake a. b. CEZ5
gelteu
diefolgeudeu Regehr
is
ggtla
, b) =ggtta
,b)
=ggT(
a, -b)
Schleifeuinvariawiei
'
89T
(95
)=ggT(
bia)
Euklid :dguidisaeTaqriFhnIsTCaibt-ggTCatbc.b0gTaHtfhhB@klariSeiaeZ.d
auuTa
-I•
wobei a - hTa
=aeg{
be21
bla} thetwua
;ggtla
,b) =max( Tanta )
- max( Ian Tb )
ggtl
a.b)
=ggT(
amodb ,b)
= max (Tanis )
ii , siehe
Li bung /
sieheDefinition
6iii ,
Fa@OiggTlatbcibl-ggTla.9-ggTCa.b )
=aFa4b¥O=
Esgilt
#Tb
< a , d. h, # CTanTy )
< aund # (
Tb
nTatbc )
< toDirzeigeu Tantb
=Tbn Tatbc
" E " Sci
teTanTb
, dauugilt
the and tlb .Mit
der Teilbarheitsregel
iii ,agibtsich
ttf
(
at b. c)
wud dawit t eTb
nTatbc
" 2 " Sci
telbnlatbe
,dunn gibt
es de, dz EZhit
t.de
- b andt.dz
at cb . Also tcd , =c. b and dawit
tdz
-tcde
= at cb - cb = a@
Deshalb gilt ( dz
- dec)
t = a uud somit tla .Sowit
tetanlb
⇒ Dir habeu
zweigleiche eudliche Meagen
dei dawitdoes
gleicher
Maximum habeu .⇒ iii ,
gilt
and#
Batt : Seieu a.
be
2, dauu ex . x.
yet
witd=ggT(
a.b)
= axtby
a Linear
darstellung
desggt
"Bevis
: viaerweituteu
EuhlidischeuAlgorithms #
Bsf
:ggTf2n
, ig)
=8
a
21=1.19*2 ⇒
1.21-1.19=2
⇒ 1.19- 9
(1.21-1.19)=1
§
=D-9.21+10.19=1
rg =
9.2+13 1.19-9.4=1
⇒ggt
⇒
1=ggT(
21,19)=
- 9.21+10 . e9koroHar=
Sci men , in >,2 . GiltggT(
aim)=1
unitOcafm
-1 , dauu ist a iuvertierbarBeavis
:Gilt ggtc
a,m)=1
, dauuex . x.yet wit
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my=1
also ax =L modus3×+7
I 5 mod 71/
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a bx - 7=-69
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