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Academic year: 2022

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Diskrek Mathematic Vorlesuug 9

Steffen Reith

21.6.18

(2)

@

Deft

: sine

Algebra

F=CF , t , .

) heipt koirper

(eug. Field

)

,

weuu

is LF , + , . ) ein

Ring

is 't und

ii ,

(

Fl 20 } ,

.it#iueabe1scheGgruppeist

.

Bsf

: .

( a

,t , .

)

, (

R

,t , .

)

,

Cat

, .

)

Sind

Karper

4.1 .

Resthlasseuringe

Dissen

: In ist 'A

quivaleuz

relation , d. h.

7L

wind

Tin

A'

quivaleuzhlasseu partition

'ut .

In e 2×2

(3)

Def

: Sci me IN , mx2 , daun

@

[ a

]±m

+0

Eb ]=u =def

[ a +

bI±m

[

a

]±mO[↳]±m =dy

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]=m

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deu 'A

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von

±m

(

±

Resthlasseu )

Sind

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, d. h .

Sir me IN

,mx2

und a. a ', b ,

b'

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aus a

' modem

and

b .=b ' modem direht

[ a + b

]±m= [

a' + b'

]±m

and

[

b

]±u=[ a.

a' . b'

]=u

(4)

Bewu

's :

U" bung # Kania

.

. . . . -

? 3

koroHa=

Weuu

Zm

= deg { [ a

]±m

I OE a < in

}

, daun

ist

( In

,t , .

)

ein kommutativw

Ring

hit

Eius

.

Bend

. State [ a

]=n

schreibt man a and

stall

+0

(

law . 0

) einfaoh

+

( bae

.

)

. In do Literature schreibt man

stall Zm oft

21mL

(5)

4.2 .

Der griptegemeiusame

Teeter 4

Def

: Seien a

,b

EZ unit

laltlbl

FO , dauu

heipt

diegropte

Zabel

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gla

uud_

glb

do

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lschreibweise

:

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,

b) =g )

Weitohin

sei

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= 0

Zuni

Zahleu

a

,b keipeu teilerfoemd ( coprim

,

relativ

prim )

weuu

ggT(

a.

b)

=1 .

(6)

sake ( Reoheuregelufivdeuggt ) tier

ake a. b. CEZ

5

gelteu

die

folgeudeu Regehr

is

ggtla

, b) =

ggtta

,

b)

=

ggT(

a, -

b)

Schleifeuinvariawiei

'

89T

(

95

)

=ggT(

bia

)

Euklid :

dguidisaeTaqriFhnIsTCaibt-ggTCatbc.b0gTaHtfhhB@klariSeiaeZ.d

auu

Ta

-

I•

wobei a - h

Ta

=aeg

{

be

21

bla

} thetwua

;

ggtla

,

b) =max( Tanta )

- max

( Ian Tb )

ggtl

a.

b)

=

ggT(

amodb ,

b)

= max (

Tanis )

(7)

ii , siehe

Li bung /

siehe

Definition

6

iii ,

Fa@OiggTlatbcibl-ggTla.9-ggTCa.b )

=a

Fa4b¥O=

Es

gilt

#

Tb

< a , d. h, # CTan

Ty )

< a

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n

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< to

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=

Tbn Tatbc

" E " Sci

teTanTb

, dauu

gilt

the and tlb .

Mit

der Teilbarheitsregel

iii ,

agibtsich

ttf

(

at b. c

)

wud dawit t e

Tb

n

Tatbc

" 2 " Sci

telbnlatbe

,

dunn gibt

es de, dz EZ

hit

t.de

- b and

t.dz

at cb . Also tcd , =

c. b and dawit

tdz

-

tcde

= at cb - cb = a

(8)

@

Deshalb gilt ( dz

- de

c)

t = a uud somit tla .

Sowit

tetanlb

Dir habeu

zweigleiche eudliche Meagen

dei dawit

does

gleicher

Maximum habeu .

iii ,

gilt

and

#

Batt : Seieu a.

be

2

, dauu ex . x.

yet

wit

d=ggT(

a.

b)

= axt

by

a Linear

darstellung

des

ggt

"

Bevis

: via

erweituteu

Euhlidischeu

Algorithms #

(9)

Bsf

:

ggTf2n

, ig

)

=

8

a

21=1.19*2

1.21-1.19=2

1.19

- 9

(1.21-1.19)=1

§

=D

-9.21+10.19=1

rg =

9.2+13 1.19-9.4=1

ggt

1=ggT(

21,19

)=

- 9.21+10 . e9

koroHar=

Sci men , in >,2 . Gilt

ggT(

aim

)=1

unit

Ocafm

-1 , dauu ist a iuvertierbar

Beavis

:

Gilt ggtc

a

,m)=1

, dauuex . x.

yet wit

axt

my=1

also ax =L modus

(10)

3×+7

I 5 mod 71

/

-7

@

a bx - 7=-69

F e.

modal

/

.

It ?

.

. . . had 71

Hero Kari

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