Vorlesuug 5

(1)

Diskrek Mathematic Vorlesuug ⁵

Steffen

Reith

17.5.18

(2)

Moggorgskdtdl *

Saki

eudliche

_Sci

M¥0

^line _Menge und

Scaling

^{ ^III ^: ^M→M

@

istbijehtiv ^}

^, ^dauu bildetscm ) ^zusammeu : unit do

kompositiouvoufuuhtioueu

^line ^Gruppe^.

Bennis

^: ^Seieu

_In

^Iz

,T3

^ESCM ⁾ , daun

gilt

( _Ino

Idiots

⁽ ^x⁾ ⁼ ⁽ Trotz

)

⁽

Iscx

⁾

)

M= him _, ^... .mu } ⁼

IILITZCIB

⁽ ^×⁾⁾

⁾

Iescm )

t.tt#jjitffefT.n=(Icm)...Tcmu

)

⁼ ^{Ti (} ⁽ ^Ic ^°

^{Is )}

⁽^x⁾

⁾

me mn ₌ to

CIZOI

_,

)

⁽ ^x

⁾

_, ^d. ^h ^. ^die

kow

position

istassoziativ ^.

Die

Fat idescm ) wit idcxtx ist does

neutral

Element . For

jede

^tht

(3)

It ^SCM

)

^ex ^. ^line

UuhehrfnuhtioaTtmitToTlt-ida@ItoI.SowiesoiI.I

' ESCM ) _, ^dauu ^ist ^To # escm ) _, da TOI ^'

Element aus

Mauf

^Element ^von ^M ^abbildet

und

bijehhvist

^.

⇒ son ) ist line cyruppe ^.

It

Spezialfall

^: ^Weuu ^M=

^21,2

^, ^... ^. ^, ⁿ

^}

^Schreiber ^wir

^statt

SCH

_, ^... _, ^u }

) _einfach ^Su

^.

Folgerung

^:

^Die Orduuug

ûou ^Su îst û ^!

(4)

3

Satz ^: Sind

Ai

^Bt

¢ eudliche

_Meugeu ^wit ^# A ⁼ # B _, dauu Sind

die Gruppen

^SCA⁾ ^and ^SCB

) isomorph

^.

Beus

^{SCA )}

_heipt symmetvisehe Gruppe

⁽ ^von ^A) ^.

Bewig

^Da ^# ^At ^# ^B

gilt

^, ^es

^gibt

^nine

^biphtive ^Abbildoug

f

^: ^A ^→ ^B ^. ^See^' ^z ^: ^SCA⁾ ^→ ^SCB⁾ ^, ^wobei

z( ^g)

⁼

fogoft

^.

Offeusichtlich istzbijehtiv

^and

zlgnogz)

⁼

f

^° ^{( grog} ^.

⁾

^•

ft

⁼

f°( go ftofogz ⁾ ^of

^"

=(

fogeof

^"

)

^°

⁽ fogrof

^"

)

⁼

_qlg

⁾

_ozlgz ⁾

⇒ SCA

)

ESCB

) #

(5)

Folgerung

^: ^Su^' ^nein ^, ⁿ ^> ¹ ûnd ^M ^line ^Menge ûnit û ^Clemente ,

dauu

gilt

^Su ^± ^SCM⁾ ^.

⇒ wir misseu nor die Su uutosucheu

Will

^man ^die Su uutusucheu

, dauu ^ist die ^Matrix schvcib _Weise pecht

schwerfoillig

^:

- .

...

. - . .

*

...

tittering :tes

^1- ^- ^. ^. ^- ^. ^. ^. ^- ⁱ ^.

sei it ( EI to :)

(6)

Th

( FIBI ⁾ ^bedeutet

⁵

2

gettin

⁵ ^iebu ^, ⁵

^geht

ⁱⁿ ⁷ ^iibv ^, ⁷ ⁱⁿ ⁸ ^, ⁸ ⁱⁿ ²

and 2 Wieder in 5 .

Text #

(

kurz ^: 2-75 ^→ ⁷ ^→ 8

# ⁾

^• ⁵

2

Fl I

⁷

^Ff

^NEIN

^?

Def

^:

^fine Permutation _Iesu oh

heifer

^, ^weuu ^es ^line ⁸

Teilmeuge ^{

ⁱⁿ^, ^... ^, ^ir

^}

^e

²¹

^, ^... ^. ^, ⁿ ^}

gilt

^wit

Icin )

⁼

in fiv

^1£ ^k$r

Ilir

)

^.

Ilia )

IT

( ^x

)

⁼ ^×

fir ^alle

^XE ²¹ ^, ^...

^,u}\

^Lie ^, ^... ^, ⁱⁿ

^}

(7)

Abkirzeud

Schreiber

^wir T= ( in _, ^iz _, ^... _, _ir

)

^.

2-

Zyhel heipeu Transposition

^en ^.

Mit _dieser

Definition gilt

Ît ^{( in}^, îz ^, ^... ^, ^{in )} ⁼ ⁽ ⁱⁿ ^, Îlia ⁾ ^,

ICITCIE

⁾

, ^... ^. ,

In

⁽ _in ₎

)

_, ^weuu

Ik=dy I°T°...oIk

^- _mal

BT

^•

_Die _Identikit

ist

der

eiuzige

¹ ^-

^Zyhel

• ( 1,2) _, _{( 1,3 )} _,^. ^. ^. _,

(

1. n

)

^Sind

Transposition

^ey

.

53=24 ⁾

, 4,2

)

_, ^l _1,3

)

, ( 2,3

)

, (^1.

2,3 )

_, ⁽ ^1,3 ^,

2) }

(8)

Sate

_,_,

Recheuregelu fir ^Zyhel

^" ⁷

i,

(

ie _, iz _, ... .

, ir

)

⁼ ⁽ ^iz ^, ^... , ir _, in

)

⁼ ⁽

^is

, ^... , ir _, in _, _iz

)

. . . .

= ( ir _, _in

, ^... ^,

iv.

,

)

_, ^d. ^h ^.

zyhlische Vertausehuug

^oinderf ^linen

^Zyhel

^uicht ^.

ii_, ^. ^, ^ir

⁾

⁼ ⁽ ⁱⁿ ^, ^... ^,

lining ^ij ⁾

^C

^ij

^, ^... ^, ^ir

⁾ fiv ^Ltjsrt

1

iii ,

( it _ii.

^... ^, ^ir

⁾

⁼ ⁽ ⁱⁿ ^, îdliz ^, îs ⁾ ^. ^... ⁽ ⁱⁿ ^, îr

⁾

iv,

(

_in _, iz _, ^... _, ir

)

^" ⁼

(

_ir _, _ir . ^ , ^... ^,

iz

_, in

)

Y IT (

iii.

^. ^. ^, ^ir

)I

^" ⁼ ⁽

Icie

⁾ _, ^... ^. _, ^Tlir )

) _fair

^alk

^Iesu

-

(9)

Beweis

^:

i_,

ergibt

^sick ^direht ^aus ^der

Definition

iy

^Sci

^In

⁼ ⁽ ⁱⁿ ^, ^... ^,

⁾

^md

ij ^Tz=

⁽

^ij

^, ^... ^, ^ir

⁾

^, ^dauu

ergibt

^sick

^Trotz

^-

( in

_, ^iz _, ^... ,

ijn

^,

^ij

^,

ijn

, ^... .in )

Vorlesuug 5

Diskrek Mathematic Vorlesuug 5

Reith

eudliche

M¥0

Scaling

@

istbijehtiv }

kompositiouvoufuuhtioueu

Bennis

In

,T3

gilt

Idiots

)

Iscx

)

IILITZCIB

)

)

Is )

)

CIZOI

)

)

position

Die

neutral

jede

)

UuhehrfnuhtioaTtmitToTlt-ida@ItoI.SowiesoiI.I

Mauf

bijehhvist

It

Spezialfall

21,2

}

statt

SCH

) einfach Su

Folgerung

Die Orduuug

Ai

¢ eudliche

die Gruppen

) isomorph

Beus

heipt symmetvisehe Gruppe

Bewig

gilt

gibt

biphtive Abbildoug

f

z( g)

fogoft

Offeusichtlich istzbijehtiv

zlgnogz)

f

)

ft

f°( go ftofogz ) of

=(

fogeof

)

( fogrof

)

qlg

ozlgz )

)

) #

Folgerung

gilt

Will

schwerfoillig

...

*

tittering :tes

sei it ( EI to :)

( FIBI ) bedeutet

gettin

Diskrek Mathematic Vorlesuug ⁵

istbijehtiv ^}

_In

⁾

^{Is )}

⁾

⁾

^21,2

^}

^statt

) _einfach ^Su

^Die Orduuug

_heipt symmetvisehe Gruppe

^gibt

^biphtive ^Abbildoug

z( ^g)

⁾

f°( go ftofogz ⁾ ^of

⁽ fogrof

_qlg

_ozlgz ⁾

( FIBI ⁾ ^bedeutet

^geht

# ⁾

^Ff

^?

^fine Permutation _Iesu oh

Teilmeuge ^{

^}

²¹

fir ^alle

^,u}\

^}

⁾

_Die _Identikit

^Zyhel

53=24 ⁾

Recheuregelu fir ^Zyhel

^is

^Zyhel

⁾

lining ^ij ⁾

^ij

⁾ fiv ^Ltjsrt

( it _ii.

⁾

⁾