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Academic year: 2022

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Diskrek Mathematic Vorlesuug 5

Steffen

Reith

17.5.18

(2)

Moggorgskdtdl *

Saki

eudliche

Sci

M¥0

line Menge und

Scaling

{ III : M→M

@

istbijehtiv }

, dauu bildetscm ) zusammeu : unit do

kompositiouvoufuuhtioueu

line Gruppe.

Bennis

: Seieu

In

Iz

,T3

ESCM ) , daun

gilt

( Ino

Idiots

( x) = ( Trotz

)

(

Iscx

)

)

M= him , ... .mu } =

IILITZCIB

( ×))

)

Iescm )

t.tt#jjitffefT.n=(Icm)...Tcmu

)

)

= Ti ( ( Ic °

Is )

(x)

)

me mn = to

CIZOI

,

)

( x

)

, d. h . die

kow

position

istassoziativ .

Die

Fat idescm ) wit idcxtx ist does

neutral

Element . For

jede

tht

(3)

It SCM

)

ex . line

UuhehrfnuhtioaTtmitToTlt-ida@ItoI.SowiesoiI.I

' ESCM ) , dauu ist To # escm ) , da TOI '

Element aus

Mauf

Element von M abbildet

und

bijehhvist

.

son ) ist line cyruppe .

It

Spezialfall

: Weuu M=

21,2

, ... . , n

}

Schreiber wir

statt

SCH

, ... , u }

) einfach Su

.

Folgerung

:

Die Orduuug

uou Su ist u !

(4)

3

Satz : Sind

Ai

Bt

¢ eudliche

Meugeu wit # A = # B , dauu Sind

die Gruppen

SCA) and SCB

) isomorph

.

Beus

SCA )

heipt symmetvisehe Gruppe

( von A) .

Bewig

Da # At # B

gilt

, es

gibt

nine

biphtive Abbildoug

f

: A B . See' z : SCA) SCB) , wobei

z( g)

=

fogoft

.

Offeusichtlich istzbijehtiv

and

zlgnogz)

=

f

° ( grog .

)

ft

=

f°( go ftofogz ) of

"

=(

fogeof

"

)

°

( fogrof

"

)

=

qlg

)

ozlgz )

SCA

)

ESCB

) #

(5)

Folgerung

: Su' nein , n > 1 und M line Menge unit u Clemente ,

dauu

gilt

Su ± SCM) .

wir misseu nor die Su uutosucheu

Will

man die Su uutusucheu

, dauu ist die Matrix schvcib Weise pecht

schwerfoillig

:

- .

...

. - . .

*

...

tittering :tes

1- - . . - . . . - i .

sei it ( EI to :)

(6)

Th

( FIBI ) bedeutet

5

2

gettin

5 iebu , 5

geht

in 7 iibv , 7 in 8 , 8 in 2

and 2 Wieder in 5 .

Text #

(

kurz : 2-75 7 8

# )

5

2

Fl I

7

Ff

NEIN

?

Def

:

fine Permutation Iesu oh

heifer

, weuu es line 8

Teilmeuge {

in, ... , ir

}

e

21

, ... . , n }

gilt

wit

Icin )

=

in fiv

k$r

Ilir

)

.

Ilia )

IT

( x

)

= ×

fir alle

XE 21 , ...

,u}\

Lie , ... , in

}

(7)

Abkirzeud

Schreiber

wir T= ( in , iz , ... , ir

)

.

2-

Zyhel heipeu Transposition

en .

Mit dieser

Definition gilt

It ( in, iz , ... , in ) = ( in , Ilia ) ,

ICITCIE

)

)

, ... . ,

In

( in )

)

, weuu

Ik=dy I°T°...oIk

- mal

BT

Die Identikit

ist

der

eiuzige

1 -

Zyhel

( 1,2) , ( 1,3 ) ,. . . ,

(

1. n

)

Sind

Transposition

ey

.

53=24 )

, 4,2

)

, l 1,3

)

, ( 2,3

)

, (1.

2,3 )

, ( 1,3 ,

2) }

(8)

Sate

,,

Recheuregelu fir Zyhel

" 7

i,

(

ie , iz , ... .

, ir

)

= ( iz , ... , ir , in

)

= (

is

, ... , ir , in , iz

)

. . . .

= ( ir , in

, ... ,

iv.

,

)

, d. h .

zyhlische Vertausehuug

oinderf linen

Zyhel

uicht .

ii, . , ir

)

= ( in , ... ,

lining ij )

C

ij

, ... , ir

) fiv Ltjsrt

1

iii ,

( it ii.

... , ir

)

= ( in , idliz , is ) . ... ( in , ir

)

iv,

(

in , iz , ... , ir

)

" =

(

ir , ir . ^ , ... ,

iz

, in

)

Y IT (

iii.

. . , ir

)I

" = (

Icie

) , ... . , Tlir )

) fair

alk

Iesu

-

(9)

Beweis

:

i,

ergibt

sick direht aus der

Definition

iy

Sci

In

= ( in , ... ,

)

md

ij Tz=

(

ij

, ... , ir

)

, dauu

ergibt

sick

Trotz

-

( in

, iz , ... ,

ijn

,

ij

,

ijn

, ... .in )

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