Universität Bielefeld
Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann Wintersemester 2010/2011
1. Online-Test Analysis 3
Unten finden Sie 7 Fragen zu Themen, die in der Vorlesung behandelt wurden. Der Dozent erhält keine personali- sierten Ergebnisse; nutzen Sie also diese zusätzliche Lernmöglichkeit.
Der Abgabeschluss dieses Tests ist amDonnerstag, den 11. November um 11:11 Uhr.
Beachten Sie, dass bis zu zwei Antwortmöglichkeiten zutreffend sind.
Pro Frage gibt es einen Punkt; Sie erhalten diesen Punkt genau dann, wenn Sie alle zutreffenden Antwortmöglichkeiten ausgewählt haben.
Frage 1
SeiΩeine nichtleere Menge undE ⊂ P(Ω).
Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinenfalsch? [1 Antwort zutreffend]
E σ-Algebra⇒E Algebra⇒E Ring.
E σ-Algebra⇒σ(E) =E.
E Algebra undΩendlich⇒E σ-Algebra.
√ E Ring⇒E σ-Algebra.
Dass die erste Alternative falsch ist, folgt unmittelbar aus den entsprechenden Definitionen. Ebenso, dass Alternativen 2 und 3 wahr sind. FallsΩendlich ist, so ist jede unendliche Vereinigung von Teilmengen vonΩals eine endliche Vereinigung darstellbar. Also ist auch Alternative 4 ebenfalls wahr.
Frage 2
Sei(Ω,A)ein Messraum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 Antworten zutreffend]
Wenn Ωendlich ist, dann giltP(Ω) =A.
Es existieren i.A.σ-Algebren, die echte Teilmengen vonP(Ω)sind.
√ P(Ω)ist eineσ-Algebra.
Die Potenzmenge ist stets eineσ-Algebra.
√ Wenn Ωendlich ist, dann existiert ein Maß aufP(Ω).
Auf höchstens abzählbaren Mengen – also insbesondere auf endlichen Mengen – sind Maße durch die Vorgabe von Wertenp(ω) für jedesω∈Ωbereits eindeutig festgelegt (und existieren insbesondere auch). Siehe auch Übungsaufgabe II.1.
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Frage 3
Sei(Ω,A, µ)ein Maßraum mitµ(Ω) = 42. Außerdem sei(An)n∈N∈AN. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
[1 Antwort zutreffend]
√ µ \
n∈N
An
!
= 42−µ [
n∈N
Acn
! .
Für endliche Maße giltµ(Bc) =µ(Ω)−µ(B). Daraus folgt wegen(T
An)c=S
Acnobige Formel.
µ [
n∈N
An
!
=X
n∈N
µ(An).
Diese Formel gilt i.A. nur für paarweise disjunkte Mengen.
µ(A1\A2) =µ(A1)−µ(A2).
WennA1⊂A2undµ(A1)< µ(A2), dann istA1\A2=∅und obige Formel ist offensichtlich falsch.
Frage 4
Sei(An)n∈Neine Familie vonσ-Algebren auf einer nichtleeren MengeΩ. Welches der folgenden Mengensysteme ist im Allgemeinenkeineσ-Algebra auf Ω? [2 Antworten zutreffend]
√ A1∪A2.
Dass dies i.A. keineσ-Algebra ist, folgt Ãďhnlich wie in Antwortmöglichkeit 4.
A3∩A4.
Dies ist ein Spezialfall von Alternative 3.
\
n∈N
An.
Siehe Übungsaufgabe I.1.b).
√ [
n∈N
An.
Ein Gegenbeispiel wurde in Übungsaufgabe III.1.b) gezeigt.
2
Frage 5
Seien(Ω,A, µ)ein Maßraum undE ⊂ P(Ω).
Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [1 Antwort zutreffend]
Es existiert eineσ-AlgebraA0 aufΩmit der Eigenschaft, dass E ⊂A0(σ(E).
Im FalleE =P(Ω)ist obige Inklusionskette offensichtlich falsch.
Falls E eine Algebra ist, dann giltσ(E) =E.
Dass dies falsch ist, folgt unmittelbar aus den entsprechenden Definitionen.
√ Falls Ωabzählbar ist undA =P(Ω), so existiert eine Funktionp: Ω→[0,∞]derart, dass
∀A∈ P(Ω) :µ(A) =X
ω∈A
p(ω).
Dass eine Funktion mit obigen Eigenschaften ein Maß festlegt, wurde in Übungsaufgabe II.1 gezeigt. Umgekehrt liefert die Festsetzungp(ω) =µ({ω})eine Funktion mit den geforderten Eigenschaften.
Keine der obigen Aussagen ist wahr.
Frage 6
Sei(Ω,A, µ)ein Maßraum. Weiterhin gelteµ(A) = 3, µ(B) = 2undµ(A\B) =32. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 Antworten zutreffend]
µ(A∪B) = 5.
µ(A∩B) = 1.
√ µ(A∪B) = 72.
√ µ(A∩B) = 32.
µ(B\A) = 1.
DaA= (A\B)∪(A∩B)und weil die MengenA\BundA∩B disjunkt sind, giltµ(A) =µ(A∩B) +µ(A\B). Es ergibt sich alsoµ(A∩B) =32. Nun impliziert die Formelµ(A∪B) +µ(A∩B) =µ(A) +µ(B), dassµ(A∪B) = 72.
Außerdem ergibt sichµ(B\A) =µ(B)−µ(A∩B) =12.
Frage 7
Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinenfalsch? [2 Antworten zutreffend]
{(a, b)| a, b∈Q, a≤b} ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger vonB(R).
{(a, b)| a, b∈R, a≤b} ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger vonB(R).
√ {(−n, n)|n∈N}ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger von B(R).
√ {[a, b]|a, b∈R, a≤b} ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger vonB(R).
Das Mengensystem in Alternative 3 ist kein Erzeuger vonB(R). Dass die Mengensysteme in Alternative 1,2 und 4 Erzeuger vonB(R)sind, wurde in Übungsaufgabe I.4. gezeigt. Allerdings ist das Mengensystem in Alternative 4 – im Gegensatz zu 1 und 2 – nicht durchschnittsstabil, denn die leere Menge ist nicht im System enthalten.
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