Universität Bielefeld
Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann Wintersemester 2010/2011
1. Online-Test Analysis 3
Unten finden Sie 7 Fragen zu Themen, die in der Vorlesung behandelt wurden. Der Dozent erh¨alt keine personali- sierten Ergebnisse; nutzen Sie also diese zus¨atzliche Lernm¨oglichkeit.
Der Abgabeschluss dieses Tests ist amDonnerstag, den 11. November um 11:11 Uhr.
Beachten Sie, dass bis zu zwei Antwortm¨ oglichkeiten zutreffend sind.
Pro Frage gibt es einen Punkt; Sie erhalten diesen Punkt genau dann, wenn Sie alle zutreffenden Antwortm¨ oglichkeiten ausgew¨ ahlt haben.
Frage 1
Sei Ω eine nichtleere Menge undE ⊂ P(Ω).
Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinenfalsch? [1 Antwort zutreffend]
E σ-Algebra⇒E Algebra⇒E Ring.
E σ-Algebra⇒σ(E) =E.
E Algebra und Ω endlich⇒E σ-Algebra.
E Ring⇒E σ-Algebra.
Frage 2
Sei (Ω,A) ein Messraum. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 Antworten zutreffend]
Wenn Ω endlich ist, dann giltP(Ω) =A. P(Ω) ist eineσ-Algebra.
Wenn Ω endlich ist, dann existiert ein Maß auf P(Ω).
Frage 3
Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum mitµ(Ω) = 42. Außerdem sei (An)n∈N∈AN. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?
[1 Antwort zutreffend]
µ \
n∈N
An
!
= 42−µ [
n∈N
Acn
! .
µ [
n∈N
An
!
=X
n∈N
µ(An).
µ(A1\A2) =µ(A1)−µ(A2).
1
Frage 4
Sei (An)n∈Neine Familie vonσ-Algebren auf einer nichtleeren Menge Ω. Welches der folgenden Mengensysteme ist im Allgemeinenkeineσ-Algebra auf Ω? [2 Antworten zutreffend]
A1∪A2. A3∩A4.
\
n∈N
An.
[
n∈N
An.
Frage 5
Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und E ⊂ P(Ω).
Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [1 Antwort zutreffend]
Es existiert eineσ-AlgebraA0 auf Ω mit der Eigenschaft, dass E ⊂A0(σ(E).
Falls E eine Algebra ist, dann giltσ(E) =E.
Falls Ω abz¨ahlbar ist undA =P(Ω), so existiert eine Funktionp: Ω→[0,∞] derart, dass
∀A∈ P(Ω) :µ(A) =X
ω∈A
p(ω).
Keine der obigen Aussagen ist wahr.
Frage 6
Sei (Ω,A, µ) ein Maßraum. Weiterhin gelteµ(A) = 3, µ(B) = 2 undµ(A\B) =32. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 Antworten zutreffend]
µ(A∪B) = 5.
µ(A∩B) = 1.
µ(A∪B) = 72. µ(A∩B) = 32. µ(B\A) = 1.
Frage 7
Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinenfalsch? [2 Antworten zutreffend]
{(a, b)| a, b∈Q, a≤b} ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger vonB(R).
{(a, b)| a, b∈R, a≤b} ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger vonB(R).
{(−n, n)|n∈N}ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger von B(R).
{[a, b]|a, b∈R, a≤b} ist ein durchschnittsstabiler Erzeuger vonB(R).
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