Universit¨at Bielefeld Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann
Sommersemester 2010 Universität Bielefeld
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Analysis 2 2. Online-Test
Unten finden Sie 10 Fragen zu in der Vorlesung behandelten Themen.
Bei jeder Frage ist genau einer der L¨osungsvorschl¨age richtig. Bitte bearbeiten Sie diesen Test inner- halb von 60 Minuten. Verwenden Sie lediglich Papier f¨ur Notizrechnungen. Bearbeiten Sie diesen Test bitte alleine und ohne Absprache. Scheuen Sie sich nicht, den Test unvollst¨andig bzw. mit Fehlern abzuschließen.
Die Auswertung erfolgt anonym. Der Dozent erh¨alt lediglich eine ¨uber alle Teilnehmer aggregierte Auswertung.
Einsendeschluss dieses Tests istDienstag, 08. Juni, 16.00 Uhr.
Frage 1
Betrachten Sie den metrischen Raum (X, δ), wobeiδ:X×X→ {0,1}erkl¨art wird durch
δ(x, y) =
(1, falls x6=y, 0, falls x=y.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Jede Teilmenge mit endlich vielen Elementen vonX ist nicht kompakt.
Jede Teilmenge mit unendlich vielen Elementen vonX ist nicht kompakt.
Keine Teilmenge vonX ist offen.
Der Abstand zweier verschiedener Elemente vonX bzgl.δist stets gr¨oßer als 42.
Frage 2
Betrachten Sie den metrischen Raum (R, δ) mitδwie in Frage 1. SeiA={1,2,3}. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
B1(0) = [−1,1].
∂A={1,3}.
A= [1,3].
A˚={1,2,3}.
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Frage 3
Betrachten Sie f¨ur γ≥0 die Abbildungk · kγ:C[0,1]→Rdefiniert durch kvkγ= max
t∈[0,1]
h|v(t)|exp(−γt)i .
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
kvkγ undkvkC[0,1]= max
t∈[0,1]|v(t)| sind ¨aquivalente Normen.
Die Abbildung gen¨ugt nicht der Bedingungkvkγ = 0 ⇐⇒ v= 0 f¨ur allev∈C[0,1].
Die Abbildung gen¨ugt nicht der Bedingungkλvkγ =|λ|kvkγ f¨ur alleλ∈R, v∈C[0,1].
Die Abbildung gen¨ugt nicht der Bedingungkv+wkγ ≤ kvkγ+kwkγ f¨ur allev, w∈C[0,1].
Keine der obigen Aussagen ist richtig.
Frage 4
Es bezeichneP[0,1] die Menge aller Polynomfunktionen definiert auf [0,1]. Man schreibep∈P[0,1] als p(t) =
n
X
j=0
ajtjmitaj∈R, j= 0, . . . , n. Betrachten Sie die Abbildungp7→ kpkP := max{|an|, . . . ,|a0|}.
Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Die Abbildung gen¨ugt nicht der BedingungkvkP = 0 ⇐⇒ v= 0 f¨ur allev∈P[0,1].
Die Abbildung gen¨ugt nicht der BedingungkλvkP =|λ|kvkP f¨ur alleλ∈R, v∈P[0,1].
Die Abbildung gen¨ugt nicht der Bedingungkv+wkP ≤ kvkP+kwkP f¨ur allev, w∈P[0,1].
(P[0,1],k · kP) ist nicht vollst¨andig.
Frage 5
Betrachten Sie die AbbildungT:C[0,1]→C[0,1], T u=12sin(u(x)), x∈[0,1], und den Raum (C[0,1],k · kC[0,1]). Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
T ist nicht stetig.
(C[0,1],k · kC[0,1]) ist kein Banachraum.
T hat einen Fixpunkt.
T hat keinen Fixpunkt.
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Frage 6
f:Rn→Rist stetig genau dann, wenn
f(U) offen ist f¨ur jede offene MengeU ⊂Rn. das Bild jeder kompakten Menge offen ist inR. f−1(U) offen ist f¨ur jede offene MengeU ⊂R.
f auf jeder kompakten Teilmenge desRn Maximum und Minimum annimmt.
Frage 7
Welche der folgenden Aussagen ist richtig f¨ur Rversehen mit der ¨ublichen Metrik?
Der abz¨ahlbare Durchschnitt
∞
\
n=1
1 n,1 + 1
n
ist offen.
Die ¨uberabz¨ahlbare Vereinigung abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen.
Der ¨uberabz¨ahlbare Durchschnitt offener Mengen ist offen.
Der abz¨ahlbare Durchschnitt
∞
\
n=1
0, 1
n
ist abgeschlossen.
Frage 8
Betrachten Sie die MengeN =1 n
n∈N als Teilmenge vonQ, wobeiQversehen sei mit der Metrik, die durch den Betrag induziert wird. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
N˚=∅.
∂N =N∩ {0}.
N¯ =N N ist offen.
Frage 9
Sei (X, d) ein metrischer Raum undA⊂X. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
B= ˚A⇒B˚=B. A∪∂Aist offen.
∂Aist offen.
Keine der obigen Aussagen ist richtig.
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Frage 10
SeiX ein normierter Raum undB ⊂A⊂X. Welche der folgenden Aussagen ist richtig?
Aist kompakt genau dann, wennAabgeschlossen und beschr¨ankt ist.
FallsX =Rn, so istAkompakt genau dann, wennAabgeschlossen und beschr¨ankt ist.
WennA totalbeschr¨ankt und abgeschlossen ist, dann istAnicht kompakt.
SeiAkompakt.B ist genau dann kompakt, wennA\B abgeschlossen ist.
