Analysis 2 3. Online-Test

Universit¨at Bielefeld Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann

Sommersemester 2010 Universität Bielefeld

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Analysis 2 3. Online-Test

Unten finden Sie 10 Fragen zu in der Vorlesung behandelten Themen.

Bei jeder Frage ist genau einer der L¨osungsvorschl¨age richtig. Bitte bearbeiten Sie diesen Test inner- halb von 60 Minuten. Verwenden Sie lediglich Papier f¨ur Notizrechnungen. Bearbeiten Sie diesen Test bitte alleine und ohne Absprache. Scheuen Sie sich nicht, den Test unvollst¨andig bzw. mit Fehlern abzuschließen.

Die Auswertung erfolgt anonym. Der Dozent erh¨alt lediglich eine ¨uber alle Teilnehmer aggregierte Auswertung.

Einsendeschluss dieses Tests istMittwoch, den 07. Juli 2010 um 16:00 Uhr.

Frage 1

Betrachten Sie die Funktionf:R²→Rerkl¨art durch die Vorschrift (x, y)7→

(xy^x_x²2^−y+y²² f¨ur (x, y)6= (0,0),

0 sonst.

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

f ist im Punkt (0,0) nicht partiell differenzierbar.

f ist zweimal stetig partiell differenzierbar.

∂1∂2f(0,0)6=∂2∂1f(0,0).

f ist nicht stetig.

Frage 2

Es seif:Rⁿ→R^meine Funktion. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

Wennf total differenzierbar ist, dann ist f stetig partiell differenzierbar.

Wennf stetig partiell differenzierbar ist, dann istf total differenzierbar und stetig.

Wenn alle partiellen Ableitungen existieren, dann istf stetig.

Wenn alle partiellen Ableitungen existieren, dann istf total differenzierbar.

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Frage 3

Betrachten Sie die Funktionf:R²→R² erkl¨art durch die Vorschrift (x, y)7→

x²−y² 2xy

.

Es seiJ(x, y) die Jacobimatrix der Funktion f an der Stelle (x, y). Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

detJ(x, y) = 1 f¨ur alle (x, y)∈R². detJ(x, y)6= 0 f¨ur alle (x, y)∈R².

detJ(x, y) = 0 genau dann, wenn (x, y) = (0,0).

detJ(x, y) = 16 auf der MengeM ={(x, y)∈R²|x²+y²= 1}.

Frage 4

Betrachten Sie die Funktionf:R²→Rerkl¨art durch die Vorschrift (x, y)7→sin(x) sin(y).

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

∇f(x, y) = (0,0) genau dann, wennx=y=kπ, k∈Z. ∇f(x, y) = (0,0) genau dann, wennx=y=kπ+π/2, k∈Z. ∀ξ= (ξ₁, ξ₂)∈

(x, y)∈R²|x=y=kπ+π/2, k∈Z : ξist lokaler Minimierer vonf. ∀ξ= (ξ1, ξ2)∈

(x, y)∈R²|x=y=kπ, k∈Z : ξ ist keine Extremstelle vonf. Frage 5

SeiA= a b

b c

eine reelle Matrix. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

Wenna <0 und det(−A)>0, dann istA positiv definit.

Wenna >0 und det(−A)>0, dann istA positiv definit.

Wennc >0 und−detA >0, dann istA negativ semidefinit.

Wennac <0 und−detA <0, dann istAindefinit.

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Frage 6

Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

max{xy |x, y∈R, x+y= 1}= 1 4. min{xy |x, y∈R, x+y= 1}= 1

4. max{xy |x, y∈R, x+y= 1}=−1

4. min{xy |x, y∈R, x+y= 1}=−1

4. Frage 7

Betrachten Sie die Funktionf:R²\{0,0} →Rerkl¨art durch die Vorschrift (x₁, x₂)7→ x₁−x₂

x1+x2

.

Tn(x;a) bezeichne das Taylorpolynom vonf dern-ten Ordnung im Entwicklungspunkta. Weiterhin sei h=x−a= (h1, h2). Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

T2(x; (1,1)) = 1 2h1+1

2h2+1 4h²₁+1

4h²₂. T₂(x; (1,1)) = 1

2h₁−1 2h₂−1

4h²₁+1 4h²₂. T2(x; (1,1)) = 2hh, hi −1

4khk². T₂(x; (1,1)) = 1

2hh, hi −8(h₁+h₂).

Frage 8

Es seienf:R³→R³ undh:R³→Rzweimal stetig differenzierbare Funktionen. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

div(h(x)f(x)) =h∇(h(x)), f(x)i −h(x) divf(x) f¨ur allex∈R³. div(h(x)f(x)) = h∇(h(x)), f(x)i

h(x) divf(x) f¨ur allex∈R³. div(rotf(x)) = 0 f¨ur allex∈R³.

rot(∇h(x)) = (1,1,1) f¨ur allex∈R³.

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Frage 9

Seiena∈Rⁿ undf:R→Rdifferenzierbar. Welche der folgenden Aussagen ist wahr?

∇f(kxk) =f⁰(kxk)

kxk xf¨ur allex∈Rⁿ, x6= 0.

∇f(ha, xi) =f⁰(ha, xi)xf¨ur allex∈Rⁿ.

Seif(x) = ln|x|. Dann ist∇lnkxk=kxkxf¨ur allex∈Rⁿ, x6= 0.

Seif(x) =|x|^q f¨ur einq∈R. Dann ist∇kxk^q =qkxk^q−1xf¨ur allex∈Rⁿ, x6= 0.

Frage 10

Betrachten Sie die Funktionf: (0,∞)×(0,∞)→Rerkl¨art durch die Vorschrift (x, y)7→x^y−y^x.

Welche der folgenden Aussagen ist richtg?

Es giltf(2,4) = 0. Weiterhin existiert keine UmgebungUvon 2 inRund keine Funktiong:U →R mit der Eigenschaft, dassf(x, g(x)) = 0 f¨urx∈U.

Es giltf(2,4) = 0. Weiterhin existiert eine UmgebungU von 2 inRund eine Funktiong:U →R² mit der Eigenschaft, dassf(x, g(x)) = 0 f¨urx∈U.

Keine der vorherigen Antworten ist richtig.