Analysis 2 1. Online-Test

Universit¨at Bielefeld Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann

Sommersemester 2010 Universität Bielefeld

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Analysis 2 1. Online-Test

Unten finden Sie 10 Fragen zu in der Vorlesung behandelten Themen.

Bei jeder Frage ist genau einer der L¨osungsvorschl¨age richtig. Bitte bearbeiten Sie diesen Test inner- halb von 60 Minuten. Verwenden Sie lediglich Papier f¨ur Notizrechnungen. Bearbeiten Sie diesen Test bitte alleine und ohne Absprache. Scheuen Sie sich nicht, den Test unvollst¨andig bzw. mit Fehlern abzuschließen.

Die Auswertung erfolgt anonym. Der Dozent erh¨alt lediglich eine ¨uber alle Teilnehmer aggregierte Auswertung.

Einsendeschluss dieses Tests istMittwoch, 12. Mai um 17.00 Uhr.

Frage 1

Eine Stammfunktion vonx7→√

x(1−x) ist 2√

x³−²₃√ x⁵ N 2

3

√

x³−²₅√ x⁵

²₃x²³ −²₅x⁵² x(1−√

x)

Formen Sie den Integranden zux¹² −x¹²⁺¹um.

Frage 2

Eine Stammfunktion vonx7→cosⁿ(x) sin (x) ist −^sinn+1_n+1^(x)

^cos_n−1^n−1(x) n! sin (x) N −^cos_n+1^n+1(x)

Nutzen Sie die Substitutionz= cos (x).

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Frage 3

Das uneigentliche Integral Z 1

0

√ 1

1−xdx N konvergiert und hat den Wert 2.

divergiert.

konvergiert und besitzt den Wert−1.

besitzt keine der obigen Eigenschaften.

Z 1

√1−xdx=−2√ 1−x.

Frage 4

Das uneigentliche Integral Z ∞

2

1 xln (x)dx konvergiert und hat den Werte.

konvergiert und hat den Wert ln (ln (2)).

konvergiert.

N divergiert.

Nutzen Sie die Substitutionz= ln (x), um

Z 1

xln (x)dx= ln(ln(x)) zu bestimmen. Das uneigentliche Integral

Z ∞

2

1

xln (x)dxexistiert folglich nicht.

Frage 5

Das uneigentliche Integral Z ∞

1

ln (x) x² dx divergiert.

hat den Wert 42.

N hat den Wert 1.

besitzt keine der obigen Eigenschaften.

Schreiben Siex= exp (t) und verwenden Sie anschließend partielle Integration.

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Frage 6

Seiλ >0. Das uneigentliche Integral Z ∞

−∞

1 λ²+x²dx divergiert.

N hat den Wert ^π_λ. hat den Wert−^π₂. hat den Wert ^λ_π. Z 1

λ²+x²dx= 1 λ²

Z 1

1 + ^x_λ2dx= 1

λarctanx λ

. Alternative: Substituieren Sie x= tan (z).

Frage 7

Betrachten Sie das unbestimmte Integral

Z 1

x³−2x²−5x+ 6 dx. Es gilt:

Das Nennerpolynom hat eine Nullstelle beix= 2.

Eine Stammfunktion ist ₁₀¹ ln|x+ 3| −¹₆ln|x+ 1|+₁₅¹ ln|x−2|

N Eine Stammfunktion ist ₁₀¹ ln|x−3| −¹₆ln|x−1|+₁₅¹ ln|x+ 2|.

Die Nullstellen des Nennerpolynoms sind a₁ = 1, a₂ = 3, a₃ = −2. F¨ur die Partialbruchzerlegung bestimmen SieA, B, C∈Rderart, dass

1

x³−2x²−5x+ 6 = A

x−a₂ + B

x−a₁ + C x−a₁.

Frage 8

Eine Stammfunktion vonx7→ 1

x³−5x²+ 8x−4 ist N −_x−2¹ −ln|x−2|+ ln|x−1|

−_x+2¹ −ln|x+ 2|+ ln|x+ 1|

−_−1+x¹ −ln|x−1|+ ln|x−2|

Hinweis: Das Nennerpolynom besitzt eine doppelte Nullstellea1∈Rund eine einfache Nullstelle a2∈R. Bestimmen Sie diese Nullstellen und finden Sie anschließendA, B, C ∈Rderart, dass

1

(x−a1)²(x−a2) = A x−a2

+ B

x−a1

+ C

(x−a1)². Die Nullstellen des Nennerpolynoms sinda1= 2, a2= 1.

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Frage 9

Eine Stammfunktion vonx7→exp (x) sin (x) ist exp (cos (x))

¹₂exp (x) (sin (x) + cos (x)) N 1

2exp (x) (sin (x)−cos (x)) ¹₂exp (x) (−sin (x)−cos (x))

Integrieren Sie zweimal partiell. Eine ¨Aquivalenzumformung liefert dann das Ergebnis.

Frage 10

Eine Stammfunktion vonx7→arcsin (x) ist xarcsin (x) +¹₄√

1−x² (x+ 1) arcsin (x) xarcsin (x)−√

1−x² N xarcsin (x) +√

1−x² Bestimmen Sie

Z

1·arcsin (x)dxdurch partielle Integration.