Universit¨at Bielefeld Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann Wintersemester 2009/2010
Analysis 1 3. Online-Test
Unten finden Sie 10 Fragen zu bisher in der Vorlesung behandelten Themen. Bei jeder Frage ist ge- nau einer der L¨osungsvorschl¨age richtig. Bitte bearbeiten Sie diesen Test innerhalb von 30 Minuten.
Verwenden Sie lediglich Papier f¨ur Notizrechnungen. Bearbeiten Sie diesen Test bitte alleine und ohne Absprache. Scheuen Sie sich nicht, den Test unvollst¨andig bzw. mit Fehlern abzuschließen.
Die Auswertung erfolgt anonym. Der Dozent erh¨alt lediglich eine ¨uber alle Teilnehmer aggregierte Auswertung.
Einsendeschluss dieses Tests istDienstag, 8.12.2009 um 13.10 Uhr.
Frage 1 SeiP∞
k=0akzk eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius% >0. Diese Reihe konvergiert...
...genau dann, wennz∈ {˜z∈C| |˜z| ≤%/2}.
...f¨ur allez∈Cmit |z|=%.
...f¨ur allez∈Cmit |z| ≤%/2.
..., falls (ak) eine monoton fallende Nullfolge ist.
Frage 2
Die komplexen L¨osungen der Gleichungz2=isind
−iund−1.
√1 2+i√1
2
und
−√1
2−i√1
2
.
√1 2−i√1
2
und
−√1
2+i√1
2
.
iund−i
Frage 3
Konvergiert die ReiheP∞
k=1|ak|, so konvergiert auchP∞ k=1ak.
Wahr.
Falsch.
1
Frage 4 SeiP∞
k=1ak eine reelle Reihe mit∀k∈N: ak≤0. Die Reihe konvergiert...
...genau dann, wenn die Folge der Partialsummen nach unten beschr¨ankt ist.
...genau dann, wenn (ak) eine monoton wachsende Nullfolge ist.
..., falls∀ε >0∃n0∈N∀k≥n0:|ak|< ε.
Frage 5
F¨ur die komplexe Zahl z= (3 + 2i)3 gilt
z= 27 + 8i.
z=−9 + 46i.
z=−9 + 10i.
z=−9−46i.
Frage 6
F¨ur die komplexe Zahl z= 3+2i4−i gilt
z=10+11i17 . z=8i+217 . z=14+5i17 . z=5+14i17 .
Frage 7 SeiP∞
k=0 1 2+12ik
eine komplexe Reihe. Diese Reihe besitzt den Wert
1 +i −12 i √1
2
12−12i
2
Frage 8
Die MengenM1, M2⊂Cseien definiert durch
M1={z1∈C|Re(z1)≥0∧Im(z1)∈[0, e)}
und
M2={z2∈C|Re(z2)∈(0,2]∧Im(z2)∈[0,2]}. F¨ur eine komplexe Zahlz gilt:z∈M1∩M2genau dann, wenn
(z∈R)∧(z≤2).
|z−i| ≤2.
(|z| ≤2) ∧ (Re(z)∈(0,2]) ∧ (z6= 0).
(Im(z)∈[0,2]) ∧ (Re(z)∈(0,2]).
Frage 9
Welche der folgenden Inklusionen ist wahr?
{z∈C|Re(z)·Im(z)>0} ⊂ {z∈C|Re(z) +Im(z)>0}
{z∈C|Re(z)−Im(z)>0} ⊂ {z∈C|Re(−z)−Im(−z)>0}
{z∈C|Re(z·i)>Re(z)} ⊂ {z∈C|Re(z)<−Im(z)}
{z∈C|Im(z·i)>Im(z)} ⊂ {z∈C|Im(z)>Re(z)}
Frage 10
Sei (ak) eine Folge reeller Zahlen. F¨urn∈Nseien folgende Summen definiert:
Sn=
3n
X
k=1
ak, Tn =
2n
X
k=1
ak, Un=
n
X
k=1
ak.
Welche der folgenden Aussagen ist dann wahr?
Der Grenzwert lim
n→∞Sn existiert genau dann, wenn der Grenzwert lim
n→∞Tn existiert.
Der Grenzwert lim
n→∞Sn existiert genau dann, wenn der Grenzwert lim
n→∞Un existiert.
Der Grenzwert lim
n→∞Tn existiert genau dann, wenn der Grenzwert lim
n→∞Un existiert.
Keine der vorherigen Aussagen ist wahr.
3
