Test 3 E+M1 02 Analysis 3

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Test 3 E+M1 02 Analysis 3

Wichtig: Resultate sind gut sichtbar zu unterstreichen. Die einzelnen Aufgaben sind durch einen Strich zu trennen. Alle Teilaufgaben geben gleich viele Punkte.

Probl. 1 (22 Punkte)

Zeige die Berechnungen der L¨ osungen von Hand. Erkl¨ are kurz die Schritte:

(a) f (x) = 4 x ⁴ + 5 x ⁵ − 6 x ⁶ + x ⁰ − 2 x ² i. R

f (x) dx = ? ii.

R 2 1

f (x) dx = ? iii.

x=1 R

x=−1

f(x) dx = ?

iv. d d t (

Z x=t

x=0

f ⁰ (x) + 1 dx) = ? (b) f (x) = 1

(sin( ^x ₃ − 3)) ² i. R

f (x) dx = ? ii.

t=u R

t=1

d d t

Z t

2

f(x) dx = ? (c) f (x) = 1

x (x + 2) (x − 2) i.

R 5 3

f (x) dx = ? ii.

R ∞ 3

f(x) dx = ? (d) f (x) = 7ln(x) − e ^x − e ^−x

e ^3x i.

R e 1

f (x) dx = ? (e) f (x) = x · (ln(x)) ² + x

i. R

f (x) dx = ? ii.

x=2 R t x=t

f (x) dx = ?

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Probl. 2 (12 Punkte)

(a) Berechne die Potenzreihenentwicklungen bis zum n–ten Glied:

f (x) = sin(2 x), x 0 = 2 π, n = 8. Dabei kann die Potenzreihenentwicklungen von sin(x) verwendet werden. Die Potenzen von 2 π − x sollen nicht ausmultipliziert wer- den. (Das Vorgehen muss gut sichtbar gezeigt werden.)

(b) Berechne die Potenzreihenentwicklungen bis zum n–ten Glied:

f ₁ (x) = cos(x ² ) + e ^−x

, x ₀ = 0, n = 8. Dabei kann die Potenzreihenentwicklungen von e ^x und von cos(x) verwendet werden. (Das Vorgehen muss gut sichtbar gezeigt werden.)

(c) Berechne approximativ mit Hilfe der Potenzreihenentwicklung bis zum n–ten Glied:

R 2

−2

f ₁ (x) dx = ? (n = 8). Vergleiche das Resultat mit dem numerisch besseren Resultat des Integtrals aus dem Rechner und mit dem Resultat f¨ ur n = 100.

(d) Ermittle den Konvergenzradius der Potehnzreihen von f 1 (x).

Probl. 3 (15 Punkte)

f (x, y) = sin(x y) + sin(x), D _f = {(x, y) | x ∈ [0, π], y ∈ [−π, π]}

(a) Skizziere die Funktion (3D) und skizziere die H¨ ohenlinienkarte.

(b) Ermittle die Punkte, in denen f ein Maximum oder ein Minimum annimmt.

(c) Berechne die Richtungsableitung im Punkte (1, 1) in Richtung des Vektors 1

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. (d) Berechne aus dem vorhin gewonnenen Resultat die Tangentensteigung im Punkte

(1, 1). Zeiche die Tangente in die Skizze ein.

(e) ¨ Uber der Kurve g(x, y) = y ² − x = 0 wird auf der Funktionsfl¨ ache ein Weg definiert.

Berechne im angegebenen Definitionsbereich Punkte, in denen die Funktion maximale und minimale Werte annimmt.

Probl. 4 (6 Punkte)

Gegeben ist die Gleichung 1 f = 1

g + 1

b + 10 ⁴

g + b , die druch Anf¨ ugen eines Korrekturterms aus der bekannten Abbildungsgleichung der geometrischen Optik entstanden ist. Es gemessen wurde g = 14.28 cm ± 0.10 cm und b = 25.62 cm ± 0.25 cm.

Berechne f ± ∆f in cm und ¨ uberlege anschliesend, ob der Ausdruck 10 ⁴ im Korrekturterm

vielleicht verwechselt worden ist und 10 ⁻⁴ sein m¨ usste.

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Probl. 5 (12 Punkte)

Die nachstehende links Figur zeigt eine Rinne, welche mittels einer Funktion f (x) = a 2 x ² + a 1 x + a 0

x ² + b ₀ − 2 wiederzugeben ist. Rechts sieht man die Kurve mit einer Tangente im Punkte (x = 1, y = f (1)). Die Tangente hat die Funktionsgleichung g(x) = x − 1

d + 3

2 , d aus der Skizze. Dazu ist z = h(x) = 2 Asymptote.

Skizzen:

(f ist symmetrisch zur y–Achse (gerade Funktion). Zudem ist f (0) = 1 und f(1) = 1.5.) (a) Vereinfache die Funktionsgleichung durch Ausnutzung der Symmetrie und

f (0) = 1, f (1) = 1.5, so dass f (x) keine weiteren Parameter mehr enth¨ alt.

(b) Berechne den Inhalt der in der Skizze gezeigten Querschnittsfl¨ ache zwischen der Kurve und der horizontalen Gerade zwischen den Punkten P (−2/f (−2)) und P (2/f (2)).

(c) Berechne den Volumeninhalt der entsteht, wenn die eben berechnete Querschnitts-

fl¨ ache zwischen der Kurve und der horizontalen Gerade um die x–Achse rotiert wird.