¨Ubungen in Analysis 3 E+M 2 02 3

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Ubungen in Analysis ¨ 3 E+M 2 02 3

Probl. 1 Berechne die folgende Integrale von Hand (partielle Integration):

(a) R

x² cos(x)dx (b) R

sin(2x) cos(1 2x)dx (c)

R2 1

ln(2x)dx

(d) R1 0

x³e^xdx

(e)

2Rπ 0

cos²(x)dx

Probl. 2 Berechne die folgende Integrale von Hand (Substitution):

(a) R x√

x²−4dx (b) R

cos⁵(x) sin(x)dx (c)

R1 0

x

√

1 +x²dx (d) R √

4−x²dx (e)

R1 0

√ 1

4 +x²dx

Probl. 3 Verifiziere die Formel sin⁴(a b) 4a² ≤ b²

4 −sin²(2a b)

16a² durch Anwendung der Schwarz’schen Un- gleichung f¨ur die Ausdr¨ucke

Rb 0

cos(a x) sin(a x)dx

!2

, Rb 0

cos²(a x)dxund Rb 0

sin²(a x)dx

Probl. 4 Berechne die folgende Integrale von Hand (f⁰(x) f(x)):

(a) R x² x³−7dx (b) R e^2x

e^2x+ 7dx

(c) R 2 cos 2x+ 4x+e^−x sin 2x+ 2x²−e^−x+ 4dx (d) R

cot(x)dx=R cosx sinx dx

%

2

Probl. 5 Berechne die folgende Integrale von Hand (Partialbruchzerlegung):

(a) R 1 x(x−1)dx (b) R x⁴−16x−3

(x²+ 1)(x−1)²(x+ 2)dx (c) R x⁴−16x−3

(x²+ 1)(x−1)² dx (d) R

− x²−6x−6 x²(x²+ 3x+ 3)dx (e) R 90x³−76x²−25x+ 19

(2x−1)(3x+ 1)(5x−3)dx

WIR1