Universität Bielefeld
Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann Wintersemester 2010/2011
2. Online-Test Analysis 3
Unten finden Sie 6 Fragen zu Themen, die in der Vorlesung behandelt wurden. Der Dozent erh¨alt keine personali- sierten Ergebnisse; nutzen Sie also diese zus¨atzliche Lernm¨oglichkeit.
Der Abgabeschluss dieses Tests ist amDonnerstag, den 16. Dezember um 20:00 Uhr.
Beachten Sie, dass bis zu zwei Antwortm¨ oglichkeiten zutreffend sind.
Pro Frage gibt es einen Punkt; Sie erhalten diesen Punkt genau dann, wenn Sie genau die zutreffenden Antwortm¨ oglichkeiten ausgew¨ ahlt haben.
Frage 1
Seien (Ω1,A1),(Ω2,A2) Messr¨aume und E1 ⊂ P(Ω1) bzw. E2 ⊂ P(Ω2) Erzeuger von A1 bzw. A2, d.h. es gilt σ(E1) = A1 und σ(E2) = A2. Weiterhin sei f: Ω1 → Ω2. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 richtige Antworten]
f ist genau dann messbar, wenn{f =ω2} ∈A1 f¨ur jedesω2∈Ω2.
Dies gen¨ugt etwa im Falle von Ω2=Rnicht.
Wenn σ(E1) =E1, dann istf bereits messbar.
σ(E1) =E1besagt nur, dassE!1 bereits eineσ-Algebra ist; dies kann nicht mit der Messbarkeit vonfin Beziehung gesetzt werden.
√ f ist genau dann messbar, wennf−1(E2)∈A1f¨ur jede MengeE2∈E2.
Dies ist die Aussage eines Lemmas aus der Vorlesung.
f ist genau dann messbar, wennf−1(E2)∈E1 f¨ur jede MengeE2∈E2.
Wennf messbar ist, kann es Urbilder messbarer Mengen geben, die nicht im Erzeuger vonA1 liegen.
√ Wenn f−1(A2)∈E1 f¨ur jede MengeA2∈A2, dann istf messbar.
WegenE1⊂A1ist dies ausreichend f¨ur die Messbarkeit vonf.
Frage 2
Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum undp, q∈[1,∞) mitp < q. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen wahr?
[1 richtige Antwort]
√ Falls f ∈Lp(Ω)∩L∞(Ω), dann gilt auchf ∈Lq(Ω).
Dies ist die Aussage von ¨Ubungsaufgabe VII.3, einer Verallgemeinerung der H¨olderschen Ungleichung.
Falls f ∈Lq(Ω)∩L∞(Ω), dann gilt auchf ∈Lp(Ω).
Gegenbeispiel:f(x) = 1/x, Ω = (1,∞) undp= 1,q= 2.
Es istLq(Ω)⊂Lp(Ω).
Gegenbeispiel:f(x) = 1/x, Ω = (1,∞) undp= 1,q= 2.
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Frage 3
Seien f, fn: R→R f¨ur n∈N. Welche der folgenden Implikationen sind auf dem Maßraum (R,B(R), λ) wahr? [2 richtige Antworten]
√ Falls fn→f fast ¨uberall und|fn| ≤gfast ¨uberall f¨ur jedesn∈Nmit g∈L1(R), dann giltkfn−fk1→0.
Dies ist die Aussage des Satzes ¨uber die majorisierte Konvergenz.
Falls fn→f dem Maße nach, dann fn→f fast ¨uberall.
Ein Gegenbeispiel wurde in ¨Ubungsaufgabe VI.3.a) behandelt.
Falls fn→f fast ¨uberall, dannfn→f dem Maße nach.
Ein Gegenbeispiel wurde in ¨Ubungsaufgabe VI.3.b) behandelt.
√ Falls kfn−fk1→0, dannfnk→f fast ¨uberall f¨ur eine geeignete Teilfolge (fnk)k∈N.
Dies wurde in der Vorlesung gezeigt.
Frage 4
F¨urk∈Nundx∈(0,1) seifk definiert durchfk(x) =k21(0,1/k)(x). Weiterhin seif(x) = lim
k→∞fk(x). Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 richtige Antworten]
√ fk∈L1((0,1)) f¨ur jedesk∈N.
Es istR
fkdx=k.
lim
k→∞
Z 1
0
fk(x)dx= Z 1
0
f(x)dx.
Es ist limk→∞R1
0fk(x)dx=∞ 6=R1
0 f(x)dx= 0.
√ f ∈L1((0,1)).
Klar wegenf≡0.
Es gilt Z
lim inf
k→∞ fkdx >lim inf
k→∞
Z fkdx.
Siehe Antwortm¨oglichkeit 2.
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Frage 5 Seien D =
(x, y)∈R2: x≥0, y≥0, x+y= 3 und f:R2 → R definiert durch f(x, y) = 2x+y. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 richtige Antworten]
√ f ∈Lp(D) f¨urp∈[1,∞].
Auf der kompakten MengeDist die stetige Funktionf beschr¨ankt und damit integrierbar aufD.
Z
D
f(x, y)d(x, y) = Z 3
0
Z 3+x
0
f(x, y)dy dx.
Die obere Grenze im zweiten Integral m¨usste 3−xlauten.
√ Es gilt 4≤λ2(D)≤5.
Es istλ2(D) = 9/2.
Der Satz von Fubini ist nicht auf Z
D
f(x, y)dλ2(x, y) anwendbar.
Er ist anwendbar, dennR
D|f(x, y)|dλ2(x, y) ist endlich, siehe Antwortm¨oglichkeit 1.
Frage 6
Seienxk = (0,4/k)∈R2 f¨urk∈Nundfk = (−2)k1Bk−2(xk). Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 richtige Antworten]
√ fk∈L1(R2) f¨urk∈N.
Es istR
|fk|dλ2= 2kλ2((Bk−2(xk))<∞.
∞
X
k=1
fk∈L1(R2).
Es ist Z
N
X
k=1
fk
=
N
X
k=1
2kk−2λ2(B1(0))−−−−→ ∞.N→∞
√
N
X
k=1
fk∈L1(R2).
Folgt unmittelbar aus Antwortm¨oglichkeit 1.
lim
k→∞fk=
∞
X
k=1
fk fast ¨uberall.
Es ist limk→∞fk= 0 fast ¨uberall.
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