Universität Bielefeld
Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann Wintersemester 2010/2011
2. Online-Test Analysis 3
Unten finden Sie 6 Fragen zu Themen, die in der Vorlesung behandelt wurden. Der Dozent erh¨alt keine personali- sierten Ergebnisse; nutzen Sie also diese zus¨atzliche Lernm¨oglichkeit.
Der Abgabeschluss dieses Tests ist amDonnerstag, den 16. Dezember um 20:00 Uhr.
Beachten Sie, dass bis zu zwei Antwortm¨ oglichkeiten zutreffend sind.
Pro Frage gibt es einen Punkt; Sie erhalten diesen Punkt genau dann, wenn Sie genau die zutreffenden Antwortm¨ oglichkeiten ausgew¨ ahlt haben.
Frage 1
Seien (Ω1,A1),(Ω2,A2) Messr¨aume und E1 ⊂ P(Ω1) bzw. E2 ⊂ P(Ω2) Erzeuger von A1 bzw. A2, d.h. es gilt σ(E1) = A1 und σ(E2) = A2. Weiterhin sei f: Ω1 → Ω2. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 richtige Antworten]
f ist genau dann messbar, wenn{f =ω2} ∈A1 f¨ur jedesω2∈Ω2. Wenn σ(E1) =E1, dann istf bereits messbar.
f ist genau dann messbar, wennf−1(E2)∈A1f¨ur jede MengeE2∈E2. f ist genau dann messbar, wennf−1(E2)∈E1 f¨ur jede MengeE2∈E2. Wenn f−1(A2)∈E1 f¨ur jede MengeA2∈A2, dann istf messbar.
Frage 2
Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum undp, q∈[1,∞) mitp < q. Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen wahr?
[1 richtige Antwort]
Falls f ∈Lp(Ω)∩L∞(Ω), dann gilt auchf ∈Lq(Ω).
Falls f ∈Lq(Ω)∩L∞(Ω), dann gilt auchf ∈Lp(Ω).
Es istLq(Ω)⊂Lp(Ω).
Frage 3
Seien f, fn: R→R f¨ur n∈N. Welche der folgenden Implikationen sind auf dem Maßraum (R,B(R), λ) wahr? [2 richtige Antworten]
Falls fn→f fast ¨uberall und|fn| ≤gfast ¨uberall f¨ur jedesn∈Nmit g∈L1(R), dann giltkfn−fk1→0.
Falls fn→f dem Maße nach, dann fn→f fast ¨uberall.
Falls fn→f fast ¨uberall, dannfn→f dem Maße nach.
Falls kfn−fk1→0, dannfnk→f fast ¨uberall f¨ur eine geeignete Teilfolge (fnk)k∈N.
1
Frage 4
F¨urk∈Nundx∈(0,1) seifk definiert durchfk(x) =k21(0,1/k)(x). Weiterhin seif(x) = lim
k→∞fk(x). Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 richtige Antworten]
fk∈L1((0,1)) f¨ur jedesk∈N.
lim
k→∞
Z 1
0
fk(x)dx= Z 1
0
f(x)dx.
f ∈L1((0,1)).
Es gilt Z
lim inf
k→∞ fkdx >lim inf
k→∞
Z fkdx.
Frage 5 Seien D =
(x, y)∈R2: x≥0, y≥0, x+y= 3 und f:R2 → R definiert durch f(x, y) = 2x+y. Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 richtige Antworten]
f ∈Lp(D) f¨urp∈[1,∞].
Z
D
f(x, y)d(x, y) = Z 3
0
Z 3+x
0
f(x, y)dy dx.
Es gilt 4≤λ2(D)≤5.
Der Satz von Fubini ist nicht auf Z
D
f(x, y)dλ2(x, y) anwendbar.
Frage 6
Seienxk = (0,4/k)∈R2 f¨urk∈Nundfk = (−2)k1Bk−2(xk). Welche der folgenden Aussagen ist wahr? [2 richtige Antworten]
fk∈L1(R2) f¨urk∈N.
∞
X
k=1
fk∈L1(R2).
N
X
k=1
fk∈L1(R2).
lim
k→∞fk=
∞
X
k=1
fk fast ¨uberall.
2
