Universität Bielefeld
Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann Wintersemester 2010/2011
3. Online-Test Analysis 3
Unten finden Sie 6 Fragen zu Themen, die in der Vorlesung behandelt wurden. Der Dozent erh¨alt keine personali- sierten Ergebnisse; nutzen Sie also diese zus¨atzliche Lernm¨oglichkeit.
Der Abgabeschluss dieses Tests ist amDonnerstag, den 03. Februar um 20:00 Uhr.
Beachten Sie, dass bis zu zwei Antwortm¨ oglichkeiten zutreffend sind.
Pro Frage gibt es einen Punkt; Sie erhalten diesen Punkt genau dann, wenn Sie genau die zutreffenden Antwortm¨ oglichkeiten ausgew¨ ahlt haben.
Frage 1
Seien Ω⊂Rn offen und Φ : Ω→Rn ein Diffeomorphismus gegeben durch Φ(x) =Ax+b, wobeiA∈Rn×n,b∈Rn. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [2 richtige Antworten]
|Ω|=|Φ(Ω)|.
|Φ(Ω)|=|detA| · |Ω|.
Φ ist genau dann ein Diffeomorphismus, wenn detA6= 0.
Frage 2
SeiB1={x∈R2| ||x||<1}. Welchen Wert besitzt das Integral Z
B1
1 2p
x21+x22dλ2(x)? [1 richtige Antwort]
2π −2π π −π 0
Frage 3
SeiB1die 2-dimensionale Einheitskugel wie in Frage 2. AufB1 sei die Pfaffsche Formω=x2dx1+x1dx2definiert.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [2 richtige Antworten]
ω ist geschlossen, aber nicht exakt.
ω ist exakt und geschlossen.
ω ist exakt, aber nicht geschlossen.
dω= 0.
1
Frage 4
Sei ω = (x+y2)dx+y4dy eine Pfaffsche Form auf Rn. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [1 richtige Antwort]
dω=−2y dx∧dy dω= 2y dx∧dy dω= 2y
dω=−2y
Frage 5
Seiω einep-Form aufRn der Gestalt ω=ω1∧. . .∧ωp, wobeiωi f¨ur 1≤i≤p1-Formen aufRn sind. Welche der folgenden Aussagen sind im Allgemeinen richtig? [2 richtige Antworten]
ωi∧ω= 42(ω∧ωi) f¨ur jedes 1≤i≤p.
dω=dω1∧. . .∧dωp. ω∧ω= 0.
d(ωi∧ωj) =d(ωi+1∧ωj+1) f¨ur jedes 1≤i < j ≤p−1.
Frage 6
Welche der folgenden BasenB1, . . . ,B4 des R3 sind bez¨uglich der Standardorientierung des R3 positiv orientiert?
[2 richtige Antworten]
B1= (e2, e3, e1).
B2= (e1, e3−e2, e3+e1).
B3=
2 1 1
,
3 0 2
,
7 1 1
.
B4= (e2,−e3, e1).
2
