Universität Bielefeld
Fakult¨at f¨ur Mathematik Prof. Dr. M. Kaßmann Wintersemester 2010/2011
3. Online-Test Analysis 3
Unten finden Sie 6 Fragen zu Themen, die in der Vorlesung behandelt wurden. Der Dozent erh¨alt keine personali- sierten Ergebnisse; nutzen Sie also diese zus¨atzliche Lernm¨oglichkeit.
Der Abgabeschluss dieses Tests ist amDonnerstag, den 03. Februar um 20:00 Uhr.
Beachten Sie, dass bis zu zwei Antwortm¨ oglichkeiten zutreffend sind.
Pro Frage gibt es einen Punkt; Sie erhalten diesen Punkt genau dann, wenn Sie genau die zutreffenden Antwortm¨ oglichkeiten ausgew¨ ahlt haben.
Frage 1
Seien Ω⊂Rn offen und Φ : Ω→Rn ein Diffeomorphismus gegeben durch Φ(x) =Ax+b, wobeiA∈Rn×n,b∈Rn. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [2 richtige Antworten]
|Ω|=|Φ(Ω)|.
Dies ist im Allgemeinen falsch, siehe Antwortm¨oglichkeit 2.
√ |Φ(Ω)|=|detA| · |Ω|.
Dies ist gerade der Transformationssatz f¨urf≡1.
√ Φ ist genau dann ein Diffeomorphismus, wenn detA6= 0.
F¨ur die Bijektivit¨at von Φ ist die Invertierbarkeit vonAentscheidend.
Frage 2
SeiB1={x∈R2| kxk<1}. Welchen Wert besitzt das Integral Z
B1
1 2p
x21+x22dλ2(x)? [1 richtige Antwort]
2π
−2π
√ π
−π 0
Dies wird unmittelbar durch Anwendung des Satzes ¨uber die Integration rotationssymmetrischer Funktionen ersichtlich. Es gilt
Z
B1
1 2p
x21+x22 dλ2(x) = 2·τ2
Z1
0
1
2r·r dr=π.
1
Frage 3
SeiB1die 2-dimensionale Einheitskugel wie in Frage 2. AufB1 sei die Pfaffsche Formω=x2dx1+x1dx2definiert.
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [2 richtige Antworten]
ω ist geschlossen, aber nicht exakt.
√ ω ist exakt und geschlossen.
ω ist exakt, aber nicht geschlossen.
√ dω= 0.
ωerf¨ullt die Integrabilit¨atsbedingung ∂iaj =∂jai, 1≤i, j≤2 in der sternf¨ormigen MengeB1. Daher folgt die Exaktheit (und damit auch die Geschlossenheit, d.h.dω= 0) vonωgem¨aß einem Satz aus der Vorlesung.
Frage 4
Sei ω = (x+y2)dx+y4dy eine Pfaffsche Form auf Rn. Welche der folgenden Aussagen sind wahr? [1 richtige Antwort]
√ dω=−2y dx∧dy
dω= 2y dx∧dy dω= 2y
dω=−2y
Die Berechnung vondωerfolgt unmittelbar aus der Definition der ¨außeren Ableitung. Denndω= 2y dy∧dx=−2y dx∧dy.
Frage 5
Seiω einep-Form aufRn der Gestalt ω=ω1∧. . .∧ωp, wobeiωi f¨ur 1≤i≤p1-Formen aufRn sind. Welche der folgenden Aussagen sind im Allgemeinen richtig? [2 richtige Antworten]
√ ωi∧ω= 42(ω∧ωi) f¨ur jedes 1≤i≤p.
Da beide Seiten 0 sind, gilt die Aussage f¨ur jedesi.
dω=dω1∧. . .∧dωp.
Links steht eine (p+ 1)-Form, rechts eine 2p-Form.
√ ω∧ω= 0.
Durch Vertauschen der Dachprodukteintr¨age ergibt sich (wobei das Vorzeichen in der Argumenation keine Rolle spielt) unter anderem ein Dachprodukt der Formωi∧ωi. Da dies die Nullform ist, folgt die Behauptung.
d(ωi∧ωj) =d(ωi+1∧ωj+1) f¨ur jedes 1≤i < j ≤p−1.
Ein Gegenbeispiel liefern die 1-Formenω1=x1dx1, ω2=x1dx2, ω3=x3dx3.
2
Frage 6
Welche der folgenden BasenB1, . . . ,B4 des R3 sind bez¨uglich der Standardorientierung des R3 positiv orientiert?
[2 richtige Antworten]
√ B1= (e2, e3, e1).
Wir haben die Determinante der ¨Ubergangsmatrix auf ihr Vorzeichen zu untersuchen. Es ist det
0 0 1
1 0 0
0 1 0
= 1.
B2= (e1, e3−e2, e3+e1).
Es ist det
1 0 1
0 −1 0
0 1 1
=−1.
√ B3=
2 1 1
,
3 0 2
,
7 1 1
.
Es ist det
2 3 7
1 0 1
1 2 1
= 10.
B4= (e2,−e3, e1).
Es ist det
0 0 1
1 0 0
0 −1 0
=−1.
3
