ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 3. Aufgabenblatt vom 12.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien
1. Aufgabe: Prädikatenlogik
Gegeben sind die folgenden Prädikate:
P(x, y) :x < y Q(x, y, z) :x+y =z
Welche Wahrheitswerte haben die folgenden Aussagen?
(a) P(7,5)⇒P(5,7) (b) Q(6,9,15)
(c) ∃x∈Z:Q(x, x,3) (d) ∃x∈R:Q(x, x,3)
(e) ∀x∈Z:∀z∈Z:∃y∈Z:Q(x, y, z) (f) ∀x∈N:∀z∈N:∃y∈N:Q(x, y, z)
(g) ∀x∈N:∀z∈N:∃y∈N: (P(x, z)⇒Q(x, y, z)) 2. Aufgabe: Schaltjahre
Geben Sie eine Aussageform an, die angibt, ob das Jahr x ∈ N im heute angewende- ten Gregorianischen Kalender ein Schaltjahr ist. Verwenden Sie dafür neben logischen Junktoren, Variablen und Quantoren über Nnur die Ziern 0 bis 9, die Grundrechen- symbole ·und+, das Gleichheitssymbol=und die Ordnungsrelation ≤.
3. Aufgabe: Zählen mit Quantoren
Geben Sie eine quantizierte Formel an, die ausdrückt, dass genau drei Elemente aus dem Universum U das PrädikatP(x) erfüllen. Bringen Sie die Negation dieser Formel in Negationsnormalform.
4. Aufgabe: Mengenoperationen
Beweisen Sie für beliebige MengenA,B,C die folgenden Beziehungen:
(a) (A\B)\C= (A\C)\(B\C) (b) A∪(B∩C) = (C∪B)∩A
(c) (A\B)×C= (A×C)\(B×C)
Machen Sie sich die Teile (a) und (b) mittels Venn-Diagrammen klar.
5. Aufgabe: Potenzmengen
Sind die folgenden Behauptungen für beliebige Mengen A und B wahr? Sollte eine Behauptung nicht für alleAundB wahr sein, was können Sie dann über solche Mengen A undB aussagen, die die Behauptung erfüllen?
(a) P(A)∪ P(B) =P(A∪B) (b) P(A)∩ P(B) =P(A∩B)
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