ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 2. Aufgabenblatt vom 11.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien
1. Aufgabe: Boolesche Gesetze Vereinfachen Sie die Formeln
t= ((¬((x∧(¬z))∨((¬x)∧(¬z))))∧(z∨((¬x)∧y))) und
s= ((a∨b)∧(c⇒a))∨((a⇔c)∨b)
Schritt für Schritt unter Verwendung der aus der Vorlesung bekannten semantischen Äquivalenzen so weit wie möglich. Benennen Sie dabei für jeden Schritt explizit die verwendete semantische Äquivalenz.
Geben Sie den Termt[(x∨ ¬z)/z]an, der aus tentsteht, wennx∨ ¬z fürzsubstituiert wird.
2. Aufgabe: Tautologien
(a) Bestimmen Sie mittels Wertetabellen, ob die folgenden Booleschen Terme Tauto- logien sind:
((p⇒q)∧(q⇒r))⇒(p⇔r) p⇒(q⇒p)
(b) Entscheiden Sie für die folgenden Behauptungen, ob sie zutreen oder nicht. Be- gründen Sie Ihre Antworten.
i. Zwei Terme t1 und t2 sind genau dann semantisch äquivalent, wenn t1 ⇔ t2 eine Tautologie ist.
ii. Eine Formelt ist genau dann erfüllbar, wenn¬tnicht erfüllbar ist.
iii. Eine Formelt ist genau dann eine Kontradiktion, wenn¬terfüllbar ist.
iv. Eine Formeltist genau dann eine Kontradiktion, wenn ¬teine Tautologie ist.
3. Aufgabe: DNF und KNF
Setzen Sie in der Formel(x∧ ¬y∨ ¬z)⇒(x∧y) alle Klammern, die ohne die Vereinfa- chungsregeln gesetzt sein müssten. Bilden Sie die kanonische DNF und die kanonische KNF zu dieser Formel.
4. Aufgabe: Logische Signaturen
(a) Zeigen Sie, dass die Signatur {⇒}nicht funktional vollständig ist.
(b) Zeigen Sie, dass die Signatur {¬,⇒}funktional vollständig ist.
(c) Schreiben Sie die Formel (¬q∨r)∧ ¬(q∨p)∧ ¬q in eine semantisch äquivalente Formel über der Signatur{¬,⇒}um.
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