ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 9. Aufgabenblatt vom 20.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien
1. Aufgabe: Doppeltes Abzählen und Schubfachprinzip
Ein Übungszettel mit 9 Aufgaben ist an 7 Studenten verteilt worden. Jeder Student muss mindestens 4 Aufgaben des Blattes bearbeiten. Zeigen Sie durch doppeltes Abzählen und Verwendung des Schubfachprinzips, dass es mindestens eine Aufgabe gibt, die von mindestens 4 Studenten bearbeitet wurde.
2. Aufgabe: Stirling-Zahlen
Bestimmen Sie den Wert vonSn,n−2durch ein direktes kombinatorisches Argument (d.h.
ohne Verwendung der Rekursion).
3. Aufgabe: Rekursiv denierte Folge in geschlossener Form
Gegeben sei die rekursiv denierte Folgea0=a1 = 1undan= 2an−1+ 3an−2 fürn≥2.
Beweisen Sie: an= 12 ·3n+ 12·(−1)n für alle n. 4. Aufgabe: Zahlpartitionen
Seien n und k fest gewählte natürliche Zahlen. Wie viele geordnete Lösungen (in Ab- hängigkeit vonnund k) hat die Ungleichung
n≥n1+n2+. . .+nk
unter den Bedingungen
(a) n1≥0, n2 ≥0, . . . , nk≥0, (b) n1≥4und n2≥0, . . . , nk≥0 ? 5. Aufgabe: Fibonacci Zahlen
Die Folge der Fibonacci Zahlen ist rekursiv deniert durch: F0 = 0, F1 = 1und Fn = Fn−1 +Fn−2, für alle n ≥ 2. Die Zahl Fn kann interpretiert werden als Anzahl der geordneten Zahlpartitionen vonn−1, wobei alle Summanden entweder 1oder 2 sind.
(a) Bestimmen Sie anhand dieser Interpretation die ZahlenF7 und F8.
(b) Finden Sie wiederum anhand dieser Interpretation ein kombinatorisches Argument für die Rekursion Fn=Fn−1+Fn−2 für n≥2.
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