ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 4. Aufgabenblatt vom 13.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien
1. Aufgabe: Relationen zählen
SeienA undB endliche Mengen mit|A|=m und|B|=n. Welche Mächtigkeit hat das kartesische Produkt A×B? Wie viele Relationen zwischenAund B gibt es? Wie viele reexive Relationen in A gibt es? Wie viele Äquivalenzrelationen in A gibt es, wenn
|A|= 4?
2. Aufgabe: Relationen
Untersuchen Sie die folgenden RelationenR (in A) auf Reexivität, Symmetrie, Anti- symmetrie und Transitivität. Welche Relationen sind Äquivalenzrelationen? Beschreiben Sie, wenn möglich, die jeweiligen Äquivalenzklassen. Beschreiben Sie zudem die Relation R◦R.
(a) A sei die Menge aller Geraden inR2,
R={(g, h)∈A×A: g und hstehen senkrecht aufeinander}, (b) A=N, R={(m, n)∈A2| ∃a, b∈N: 2am= 2bn}.
3. Aufgabe: Operationen auf Äquivalenzrelationen SeienR1 und R2 Äquivalenzrelationen in einer MengeA.
(a) Zeigen Sie, dass R1∩R2 eine Äquivalenzrelation in A ist.
(b) Finden Sie ein Beispiel, welches zeigt, dassR1∪R2 im Allgemeinen keine Äquiva- lenzrelation ist.
4. Aufgabe: Charakterisierung transitiver Relationen
SeiR eine Relation inA. Zeigen Sie, dassR genau dann transitiv ist, wennR◦R⊆R. 5. Aufgabe: Fast Äquivalenzrelationen
Finden Sie Beispiele für Relationen, die jeweils genau eine der drei Eigenschaften von Äquivalenzrelationen verletzen, also
(a) eine Relation, die reexiv und symmetrisch, aber nicht transitiv ist, (b) eine Relation, die reexiv und transitiv, aber nicht symmetrisch ist, (c) eine Relation, die symmetrisch und transitiv, aber nicht reexiv ist.
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