ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 6. Aufgabenblatt vom 17.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien
1. Aufgabe: Komposition bijektiver Funktionen
Seienf :A→B und g:B →C bijektive Funktionen. Beweisen Sie, dass die Verknüp- fungg◦f :A→C ebenfalls bijektiv ist.
2. Aufgabe: Charakterisierung injektiver Funktionen
Seif :A→B eine Funktion. Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(a) f :A→B ist injektiv.
(b) Es existiert eine Abbildungg:B →A mitg◦f =IdA. 3. Aufgabe: Mächtigkeiten
Gegeben seien Mengen A1, A2, B1, B2 mit |A1|=|B1| und |A2|=|B2|. Beweisen oder widerlegen Sie:
(a) |A1\A2|=|B1\B2|, (b) |A1×A2|=|B1×B2|. 4. Aufgabe: Beweistechniken
Beweisen Sie die folgende Aussage sowohl durch Fallunterscheidung als auch mit Kon- traposition: Sei mindestens eine von zwei natürlichen Zahlen nicht durch 3 teilbar, dann ist auch ihre Summe oder ihre Dierenz nicht durch 3 teilbar.
5. Aufgabe: Fallunterscheidung
Nehmen wir an, dass wir folgende Lemmata bewiesen haben:
Lemma 1. Aus A folgt C.
Lemma 2. Wenn B nicht gilt, dann muss A gelten.
Lemma 3. Aus B folgt C.
Betrachten Sie folgenden Beweis der Aussage C unter Benutzung dieser Lemmata:
Beweis: Wir unterscheiden zwei Fälle:
• Fall I: A gilt. Wir wenden Lemma 1 an und sind fertig.
• Fall II: A gilt nicht. In diesem Fall unterscheiden wir zwei Unterfälle:
Fall IIa: B gilt nicht. Dann wenden wir Lemma 2 an und schlieÿen daraus A, im Widerspruch zur Voraussetzung von Fall II. Daher brauchen wir diesen Fall nicht zu betrachten.
Fall IIb: B gilt. Mit Hilfe von Lemma 3 ergibt sich C.
Damit ist Aussage C bewiesen.
Ist dieser Beweis gültig? Analysieren Sie die logische Struktur dieses Beweises! Können Sie eine einfachere Struktur für den Beweis vonC nden?
1
