ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 11. Aufgabenblatt vom 24.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien 1. Aufgabe: Bedingte Wahrscheinlichkeit
(a) Sei (Ω,Pr) ein Wahrscheinlichkeitsraum und seien A, B, C ⊆Ω Ereignisse, wobei Pr(C)>0. Beweisen Sie folgende aus der Vorlesung bekannte Beziehung:
Pr(A∪B|C) = Pr(A|C) + Pr(B|C)−Pr(A∩B|C).
(b) Aus einem gewöhnlichen Skatspiel von32Karten (4Farben mit je8Kartenwerten) werden zwei Karten nacheinander gleichverteilt und ohne Zurücklegen gezogen. Be- rechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beide gezogenen Karten von der Far- be Herz sind oder eine Dame und ein König gezogen wird unter der Voraussetzung, dass eine der beiden gezogenen Karten die Herz Dame ist.
2. Aufgabe: Unabhängige Zufallsvariablen
SeiΩ ={0,1}2×{1,2, . . . ,6}2der Ereignisraum für das Werfen zweier fairer Münzen und zweier fairer Würfel. Betrachten Sie folgende Paare von Zufallsvariablen X, Y : Ω→R und entscheiden Sie (mit Begründung!) welche unter ihnen unabhängig sind:
(a) Für jedes (m1, m2, w1, w2)∈Ωseien
X(m1, m2, w1, w2) =m1+w1 und Y(m1, m2, w1, w2) =m2+w2. (b) Für jedes (m1, m2, w1, w2)∈Ωseien
X(m1, m2, w1, w2) =m1 und Y(m1, m2, w1, w2) =m2. (c) Für jedes (m1, m2, w1, w2)∈Ωseien
X(m1, m2, w1, w2) =m2·w1 und Y(m1, m2, w1, w2) =m1·w2. 3. Aufgabe: Bernoulli-Experimente
(a) Eine Universität stellt10 Studenten6PCs zur Verfügung. Jeder Student hat (un- abhängig voneinander) zu 20 Prozent Lust, am PC zu arbeiten. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zu einem Zeitpunkt die vorhandenen Rechner nicht ausreichen.
(b) Ein Bernoulli-Experiment hat eine Erfolgswahrscheinlichkeit 1/100. Wie viele Ex- perimente muss man durchführen, damit man mit Wahrscheinlichkeit mindestens 1/2 wenigstens einmal Erfolg hat?
4. Aufgabe: Geometrische Verteilungen
In den folgenden Spielen wird ein Experiment so lange wiederholt, bis eine bestimmte Abbruchbedingung erfüllt ist. Zur Vereinfachung schreiben wir die Ergebnisfolgen als Strings (ohne Kommata). Bestimmen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Spiel über genaun Runden geht (n eine fest gewählte natürliche Zahl). Die Antworten sollten ausreichend begründet werden. Bestimmen Sie auch die erwartete Anzahl von Runden.
(a) Münzwurf bis zum zweiten Mal Zahl (1) fällt (z.B.0001001).
(b) Würfeln bis zum zweiten Mal eine 6fällt (z.B. 3461326).
(c) Würfeln bis bisherige Summe durch3 teilbar ist (z.B.253452).
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