ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 12. Aufgabenblatt vom 25.6.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien
1. Aufgabe: Erwartungswert und Varianz
In einer Schachtel benden sich vier mit den Zahlwerten1,3,4und7beschriftete Kugeln.
Es seiX die Summe der Zahlwerte von zwei zufällig ausgewählten Kugeln, wobei jede Auswahl als gleichwahrscheinlich angenommen wird.
(a) Berechnen Sie Erwartungswert und Standardabweichung der Zufallsvariable X. (b) Was ist die kleinste sich ergebende Summe, die mit Wahrscheinlichkeit mindestens
1/2 auftritt?
2. Aufgabe: Tschebysche-Ungleichung
Ein Stenotypist bearbeitet einen ihm gegebenen Text in durchschnittlich50Minuten mit einer Standardabweichung von 10 Minuten. Benutzen Sie die Ungleichung von Tsche- bysche, um die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass er für die Bearbeitung eines Textes zwischen30 und70 Minuten benötigt.
3. Aufgabe: Coupon-Collector-Problem
Wie in der Vorlesung sei X die Zufallsvariable, die die Anzahl der Bonbons wiedergibt, die man gleichverteilt in eine Menge von r Kindern werfen muss, damit jedes Kind mindestens einen Bonbon erhält. Weiterhin seitidie Anzahl der Bonbons bis zum ersten Mal i verschiedene Kinder mindestens einen Bonbon erhalten haben und sei Xi die Zufallsvariable, die die Bonbons vom (ti−1 + 1)-sten bis zum ti-ten Bonbonwurf zählt.
Wir haben gesehen, dass dann X=X1+X2+. . .+Xr gilt.
(a) Zeigen Sie, dass die ZufallsvariablenX1, X2, . . . , Xr unabhängig sind.
(b) Berechnen Sie die Varianz einer jeden ZufallsvariableXi.
(c) Schätzen Sie mittels der Markov- und der Tschebysche-Ungleichung die Wahr- scheinlichkeit dafür ab, dass bei dem konkreten Wert von r = 10 mindestens 40 Bonbons in die Menge der Kinder geworfen werden müssen.
4. Aufgabe: Glücksspiele
Die Wahrscheinlichkeit, bei einem Glücksspiel etwas zu gewinnen, betrage p= 0,05. (a) Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie mindestens50mal spielen ohne etwas
zu gewinnen?
(b) Wie lange müssen Sie im Mittel spielen, bis Sie zum ersten Mal etwas gewonnen haben?
(c) Angenommen Sie haben im 25. Spiel zum ersten Mal gewonnen. Wie groÿ ist die Wahrscheinlichkeit, daÿ Sie nochmals 25 Spiele bis zum nächsten Gewinn benöti- gen?
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