Diskrete Mathematik Blatt 2, 28.04.2006, Abgabe 05.05.2006

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2006

Diskrete Mathematik

Blatt 2, 28.04.2006, Abgabe 05.05.2006 Aufgabe 1. 4 P. Seien b

, b

∈ R

linear unabhängig. Zeige a) hb

− b

hb

, b

i / hb

, b

ib

, b

i = 0 ,

b) b

− q b

ist Vektor minimaler Länge in b

+ b

Z gdw

|q − hb

, b

i/hb

, b

i| minimal ist für q ∈ Z . Aufgabe 2. 5 P. Zeige:

Die Ausgabebasis des Reduktionsalgorithmus ist reduziert.

Aufgabe 3. 5 P. Zeige: jede reduzierte Basis b

, b

erfüllt kb

k

≤ q

4

3

det L(b

, b

) .

Hinweis: det L(b

, b

) = kb

k kb

− hb

, b

i / hb

, b

ib

k . Aufgabe 4. 8 P. Sei K ein Körper. Zeige

a) durch vollständige Induktion nach grad g: zu g, h ∈ K[x] \ {0} gibt es r, s ∈ K[x] , so dass g = s · h + r und grad r < grad h ,

b) die Zerlegung g = s · h + r aus a) ist eindeutig, c) K[x] ist ein Euklidischer Ring,

d) Bestimme den ggT von x

+ x

+ x

+ 1 und x

+ x

+ x + 1 in Z

[x] .

−2−

Algorithmus zur Reduktion von Gitterbasen der Dim. 2.

EINGABE x, y ∈ Z

lin. unabh. kxk ≥ kyk

1. b

:= x, b

:= y (b

, b

seien Zeilenvektoren) 2.

b

b

:=

0 1 1 −q

b

b

d.h. b

:= b

b

:= b

− qb

mit q := dhb

, b

i/hb

, b

ic

( b

hat minimale Länge unter den Vektoren in b

+ b

Z .) 3. IF kb

k > kb

k THEN GO TO 2

AUSGABE reduzierte Basis b

, b

.

Der Reduktionsalgorithmus ist analog zum zentrierten Eukl. Alg.

Es wird der längere Vektor b

reduziert zu b

:= b

− qb

. Die Iteration a

a

:=

0 1 1 −da

/a

c

a

a

.

des zentrierten Eukl. Alg. dividiert die grössere Zahl a

durch die kleinere a

und bildet den Rest a

:= a

− da

/a

ca

.

Der Ausgabevektor b

ist minimal in xZ + yZ \ 0 . ggT (m, n) ist minimal in mZ + nZ \ 0 .

Denition Die Basis b

, b

∈ R

ist reduziert, wenn 1. kb

k ≤ kb

k

2. |hb

, b

i/hb

b

i| ≤ 1/2 .