Ubungen zur Differentialgeometrie ¨

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Ubungen zur Differentialgeometrie ¨

Universit¨at Regensburg, Wintersemester 2015/16 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dipl.-Math. Manuel Streil

Ubungsblatt 6¨

1. Aufgabe(4 Punkte)

Es seiM eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang∇.Zeigen Sie, dass genau eine Folge bilinearer Operatoren

∇^(r,s):X(M)×Γ(T^r,s(M))→Γ(T^r,s(M)), wobei r, s∈N0, mit folgenden Eigenschaften existiert:

a) ∇^(0,0)_X f =∂_Xf, b) ∇^(1,0)_X Y =∇XY,

c)

∇^(0,1)_X ω

(Y) = ∂X(ω(Y))−ω(∇XY), d) ∇^(r+r_X ⁰^,s+s⁰⁾(T ⊗T⁰) =

∇^(r,s)_X T

⊗T⁰ +T ⊗

∇^(r_X⁰^,s⁰⁾T⁰ .

Dabei ist∇^(r,s)_X T :=∇^(r,s)(X, T).

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass ∇^(r,s) ein lokaler Operator ist, und weisen Sie dann die geforderten Eigenschaften f¨ur die lokal definierten Operatoren nach.

Zusatz: Zeigen Sie, dass alle∇^(r,s) auch die Eigenschaften

∇^(r,s)_{f X} T =f · ∇^(r,s)_X T und ∇^(r,s)_X (f T) = (∂Xf)·T +f· ∇^(r,s)_X T besitzen (in Analogie zu den Eigenschaften des affinen Zusammenhangs).

Es sei M eine glatte Mannigfaltigkeit mit einem affinen Zusammenhang ∇ und T ∈ Γ(T^0,k(M)) mit k ∈ N. Zeigen Sie, dass dann f¨ur die induzierte kovariante Ableitung∇^(0,k) aus Aufgabe 1 die explizite Darstellung

∇^(0,k)_X T

(X₁, . . . , X_k) = ∂_X(T(X₁, . . . , X_k))

−

k

X

i=1

T(X₁, . . . , X_i−1,∇_XX_i, X_i+1, . . . , X_k) gilt mit VektorfeldernX, X₁, . . . , X_k auf M.

(2)

Es sei (M, g) eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit ¨uberall verschwindender Schnittkr¨ummung. Zeigen Sie, dass es offene UmgebungenU ⊂T_pM undV ⊂M gibt mit 0_T_p_M ∈ U und p ∈ V, sodass exp_p : (U, g_p) → (V, g) eine Isometrie ist.

Dabei identifizieren wir T_v(T_pM)∼=T_pM f¨urv ∈T_pM.

Hinweis: Es sei v ∈ T_pM und t 7→ γ(t) = exp_p(tv) die Geod¨atische durch p in Richtung v. Finden Sie zu w ∈ Tv(TpM) ∼= TpM eine explizite Darstellung des Jacobi-FeldsJ entlangγ mitJ(0) = 0und ^∇_dt

_t=0J(t) = wdurch Paralleltransport von w entlang γ.

Es seiV einn−dimensionaler Vektorraum ¨uberR.Wir definieren eine Abbildung β :^²

V^∗

⊗^² V^∗

→^³ V^∗

⊗V^∗

verm¨oge

β(R)(X, Y, Z, W) = R(X, Y, Z, W) +R(Y, Z, X, W) +R(Z, X, Y, W) mit X, Y, Z, W ∈V. Zeigen Sie:

a) Die Abbildung β ist wohldefiniert.

b) EinR∈V^∗⊗V^∗⊗V^∗⊗V^∗ erf¨ullt genau dann die punktweisen Symmetrien des Kr¨ummungstensors (also Antisymmetrie im 1. und 2. bzw. 3. und 4.

Argument, Blockvertauschung und 1. Bianchi-Identit¨at), wenn R im Kern von β liegt.

c) Die Abbildung β ist surjektiv. W¨ahlen Sie dazu eine Basis (b₁, . . . , b_n) von V^∗ und betrachten Sie zun¨achst

β((b_i∧b_j)⊗(b_k∧b_`)) f¨ur `∈ {i, j} und f¨ur ` /∈ {i, j, k}

und anschließend

β(((b_k+b_`)∧b_i)⊗(b_j∧(b_k+b_`))). d) Es gilt:

dim kerβ = n

2 2

−n n

3

= n²(n²−1) 12 . Abgabe in der Vorlesung am 26.11.2015