Ubungen zur Differentialgeometrie ¨

Ubungen zur Differentialgeometrie ¨

Universit¨at Regensburg, Wintersemester 2015/16 Prof. Dr. Bernd Ammann / Dipl.-Math. Manuel Streil

Ubungsblatt 7¨ 1. Aufgabe(4 Punkte)

Es seien (M₁, g₁) und (M₂, g₂) zwei Riemannsche Mannigfaltigen mit zugeh¨origen Levi-Civita-Zusammenh¨angen ∇¹ bzw. ∇². Wir identifzieren

T_(p,q)M1×M2 ∼=TpM1×TqM2

und definieren die Produktmetrik g₁⊕g₂ aufM₁×M₂ durch g1⊕g2((v1, w1),(v2, w2)) =g1(v1, v2) +g2(w1, w2).

a) Sind X₁ und X₂ Vektorfelder auf M₁ bzw. M₂, so definieren wir ein Vek- torfeld X auf M₁×M₂ verm¨oge

X_(p,q) = (X₁,0)_(p,q)+ (0, X₂)_(p,q)

und schreiben X = X₁ ⊕X₂. Es sei Y ein weiteres Vektorfeld vom Typ Y₁ ⊕Y₂ mit Y₁ ∈ X(M₁) und Y₂ ∈ X(M₂). Zeigen Sie, dass dann f¨ur den Levi-Civita-Zusammenhang ∇ auf (M₁×M₂, g₁⊕g₂) gilt, dass

∇_XY =∇¹_X

1Y₁+∇²_X

2Y₂.

b) Es seien c1 und c2 Geod¨atische in M1 bzw. M2. Folgern Sie, dass dann c mit c(t) = (c₁(t), c₂(t)) eine Geod¨atische in M₁×M₂ ist.

c) Berechnen Sie den Kr¨ummungstensor sowie die Schnitt-, Ricci- und Skalar- kr¨ummung von (M₁ ×M₂, g₁⊕g₂) in Termen der entsprechenden Gr¨oßen von (M₁, g₁) und (M₂, g₂).

d) Zeigen Sie, dass die Schnittkr¨ummung einer Ebene, die von zwei Vektoren (v,0) und (0, w) aufgespannt wird, verschwindet.

2. Aufgabe(4 Punkte)

Es sei M eine zweidimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit und c : I → M eine normierte Geod¨atische, d.h. kc(t)k˙ = 1 f¨ur alle t ∈ I. Wir betrachten ein Vektorfeld X l¨angs c mit X(t) ⊥ c⁰(t) und kX(t)k = 1 f¨ur alle t ∈ I. Es sei f :I →R glatt und K die Gaußkr¨ummung von M. Zeigen Sie:

a) X ist parallel l¨angs c.

b) Das Vektorfeld f X ist genau dann ein orthogonales Jacobi-Feld l¨angs c, falls

f⁰⁰+Kf = 0.

3. Aufgabe(4 Punkte)

Wir betrachten die hyperbolische Ebene (H, g^hyp),wobei H=

x+iy∈C|x∈R und y >0 und g_x+iy^hyp = _y¹2g^eukl. Zeigen Sie, dass Halbkreise

z ∈C| |z−a|=r mit a ∈R und Im(z)>0 bis auf Parametrisierung Geod¨atische von (H, g^hyp) sind.

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst, dass es reicht, sich auf den Fall a = 0 und r = 1 zu beschr¨anken. Finden Sie dann eine M¨obius-Transformation Ψ_A : z 7→ ^az+b_cz+d, wobei A = ^{a b}_{c d}

∈ SL(2;R), mit Ψ_A(i) = i und Ψ_A(0) = −1. Folgern Sie die Behauptung, indem Sie Ψ_A auf die Geod¨atische γ(t) = ie^t anwenden.

4. Aufgabe(4 Punkte) Im Folgenden betrachten wir

H² =

(x, y, z)∈R³ |x²+y²−z² =−1 undz >0 und

H=

(x, y)∈R² |y >0 ,

wobei H² die von R^2,1 induzierte Riemannsche Metrik g trage und H mit der Riemannschen Metrikg_(x,y)^hyp = _y¹2g^eukl versehen sei. Ferner setzen wir

D² =

(x, y)∈R² |x²+y² <1 .

a) Wir definieren eine stereographische Projektion f, indem wir jeden Punkt p∈H² auf den Schnittpunkt der Verbindungsgeraden von p und (0,0−1) mit der xy−Ebene abbilden. Zeigen Sie, dass H² durch f diffeomorph auf D² abgebildet wird, wobei wir die xy−Ebene mitR² identifizieren.

b) Wir fassen D² und H verm¨oge (x, y) 7→ x+iy als Teilmengen von C auf.

Zeigen Sie, dass

h:H→D², z 7→ z−i z+i ein Diffeomorphismus ist.

c) Zeigen Sie, dass f⁻¹◦h: (H, g^hyp)→(H², g) eine Isometrie ist.

Abgabe in der Vorlesung am 3.12.2015