Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie
(Sommer 2021)
5. ¨ Ubungsblatt (14.5.2021)
Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 21.5.2021, 10:30 per email.
Ubung 5.1.¨ Beweisen Sie den Satz von Pappus: Seiceine nach Bogenl¨ange parametrisierte Kurve wie in Aufgabe 4.3. Dann ist f¨ur die zugeh¨orige Rota- tionsfl¨ache
area(f(I ×[0,2π[)) = 2π Z
I
g(s)ds .
(20 Punkte) Ubung 5.2.¨ Bestimmen Sie den Fl¨acheninhalt einer R¨ohrenfl¨ache wie in Ubung 4.2 auf¨ I×]0,2π[. Welchen Fl¨acheninhalt hat der Rotationstorus
f :R2 →R3, (t, ϕ)7→((R+rcost) cosϕ,(R+rcost) sinϕ, rsint)
auf ]0,2π[2? (15+5 Punkte)
Ubung 5.3.¨ Sei f1 :R2 →R3,(x, y)7→(coshxcosy,coshxsiny, x)das Ka- tenoid (oder Kettenfl¨ache) undf2 :R2 →R3,(x, y)7→(sinhxcosy,sinhxsiny, y) das Helikoid (oder Wendelfl¨ache). Verifizieren Sie, dass beides Fl¨achenst¨ucke sind, und zeigen Sie, dass die ersten Fundamentalformen ¨ubereinstimmen.
Skizzieren Sie beide Fl¨achen. (10(Katenoid)+15(Helikoid) Punkte) Ubung 5.4.¨ Bestimmen Sie die 2. Fundamentalmatrix und die Weingar- tenabbildung
a) der Drehfl¨achen, b) der R¨ohrenfl¨achen,
c) von Helikoid und Katenoid. (10+15+10 Punkte)
