Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie
(Sommer 2021)
3. ¨ Ubungsblatt (30.4.2021)
Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 7.5.2021, 10:30 per email.
Ubung 3.1.¨ Sei K >0 und c eine konvexe Kurve mit ∀s : 0≤ κ(s) ≤K.
Zeigen Sie L¨ange(c)≥ 2πK. (20 Punkte)
Ubung 3.2.¨ Im Strassen- und Eisenbahnbau werden Streckenabschnitte ver- schiedener Kr¨ummung durch Kurven mit linear wachsender Kr¨ummung als C2-Kurven verbunden. Bestimmen und skizzieren sie die Kurven mit c(0) = 0, c0(0) = (10) und ∀s ∈ R : κ(s) = s (die dabei auftretenden Integrale sind nicht elementar intergrierbar) sowie mit ∀s ∈R+:κ(s) = s+11 .
(15+20 Punkte) (Bem.: Typischerweise werden Kurven im Straßenbau so konstruiert, dass die Kr¨ummung stetig und st¨uckweise linear ist, damit ein Autofahrer beim Durch- fahren mit konstanter Geschwindigkeit das Lenkrad mit konstanter Winkel- geschwindigkeit drehen kann. ¨Uberlandstraßen und Eisenbahntrassen haben also normalerweise st¨uckweise die Gestalt der ersten Kurve dieser Aufgabe.)
Ubung 3.3.¨ Sei c : I → R2 eine ebene Kurve. Der Kr¨ummungskreis an c in t0 ist der Kreis mit Mittelpunkt c(t0) + κ(tn(t0)
0) und Radius |κ(t1
0)|. Zeigen Sie, dass der Kr¨ummungskreis die Kurve c in zweiter Ordnung ber¨uhrt, d.h.
erste und zweite Ableitung bei Parametrisierung nach Bogenl¨ange stimmen
bei c(t0) ¨uberein. (25 Punkte)
Ubung 3.4.¨ Die Kurve der Kr¨ummungskreismittelpunkte heißt Evolute. Be- rechnen Sie die Evolute der Zykloide c:R→R2, t 7→(1−cost−sintt) dort, wo diese
regul¨ar ist. (20 Punkte)
