Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie
(Sommer 2021)
7. ¨ Ubungsblatt (28.5.2021)
Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 4.6.2021, 10:30 per email.
Ubung 7.1.¨ Zeigen Sie f¨ur die Torsion einer Asymptotenlinie c=f◦γ mit nicht-verschwindender Kr¨ummung auf einer Fl¨ache f, dass K =−τ2.
Sie k¨onnen dazu z.B.n=±b zeigen und die Determinante von A mit der Matrixdarstellung f¨ur die Basis (γ0,nγ) ausrechnen. (25 Punkte) Ubung 7.2.¨ Sei f die Drehfl¨ache zur Kurve c=
cx
cy
. Zeigen Sie, dass sich f global durch umparametrisieren von c isotherm (winkeltreu) parametrisie- ren l¨aßt, d.h. so, dass g ¨uberall ein Vielfaches der euklidischen Metrik des R2 ist, genauer ∃λ:U →R+:g =λh·,·iR2. (30 Punkte)
Ubung 7.3.¨ Zeigen Sie, dass eine Fl¨ache genau dann winkeltreu parametri- siert ist, wenn rechte Winkel bzgl. g auch rechte Winkel bzgl. h·,·iR2 sind.
(25 Punkte)
Ubung 7.4.¨ Bestimmen Sie alle Drehfl¨achen, die Regelfl¨achen sind (bis auf Wahl der Parametrisierung). Berechnen Sie Striktionslinie und Verteilungs- parameter, falls diese definiert sind. (20 Punkte)
