Ubungen zur Einf¨ ¨ uhrung in die Differentialgeometrie
(Sommer 2021)
6. ¨ Ubungsblatt (21.5.2021)
Abgabe der L¨osungen bis n¨achsten Freitag, 28.5.2021, 10:30 per email.
Ubung 6.1.¨ Seic:I →R3 eine regul¨are Kurve auf einer Fl¨achef :U →R3 mit ¨uberall positiver Gauß-Kr¨ummung. Zeigen Sie f¨ur die Kr¨ummung κ der Kurve und die Hauptkr¨ummungen κ1, κ2, dass ¨uberall |κ| ≥ min{|κ1|,|κ2|}
gilt. (20 Punkte)
Ubung 6.2.¨ Beweisen Sie (z.B. mit Hilfe des Satzes von Cayley-Hamilton) f¨ur eine beliebige Fl¨ache, dass
∀X, Y ∈TuU :hDn(X), Dn(Y)i= 2H·II(X, Y)−K·g(X, Y) .
(30 Punkte)
Ubung 6.3.¨ Sei f Drehfl¨ache zu einer Kurve c : s 7→ (cx(s), cy(s)) der Geschwindigkeit 1 mit cx : R → R+, s 7→ e−s. Bestimmen Sie cy (in Form eines Integrals) und die Gauß-Kr¨ummung K. Berechnen Sie die L¨ange der Strecke auf jeder Tangente an jeden Meridian w = f(·, ϕ0) zwischen w(s) und dem Schnitt der Tangente mit der Drehachse. (25 Punkte) Ubung 6.4.¨ Sei f der Rotationstorus aus Aufgabe 5.2. Berechnen Sie das Schmiegparaboloid an den Punkten (0,0), (π/2,0) und (π,0). (25 Punkte)
